Reihe umformen

01.12.2020, 11:49

ZauberwürfelSindToll

Reihe umformen

Meine Frage:
Hallo, ich bräuchte einen kleinen Anstoß bezüglich des Umformes einer Reihe, zu einem gewünschten Ausdruck.
Ich habe die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=k}^{\infty } a\cdot p^{n}\cdot \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{2} \right) ^{n} \end{eqnarray*}$ aufgestellt und soll diese zu dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{2ap^{k}}{\left(2-p\right)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ umformen.
$\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N, p\in \left(0,1\right), 0 < a <\frac{1-p}{p}, k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nun das a kann man leicht aus der Reihe herausziehen, jedoch verbessert das nicht viel.
Desweiteren kenne ich natürlich die Ausdrücke
- $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=k}^{\infty } p^{n} = \frac{p^{k}}{1-p} \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=k}^{\infty } \left(\frac{1}{2} \right) ^{n} = 2^{1-k} \end{eqnarray*}$
Allerdings komme ich mit dem n über k in der Reihe nicht so klar.
Ich bitte um einen kleinen Denkanstoß smile

01.12.2020, 13:53

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Man geht aus von der geometrischen Reihe:

$\begin{align*} \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \, , \ \ |x|<1 \end{align*}$

Dann differenziert man $\begin{align*} k \end{align*}$ -mal:

$\begin{align*} \frac{k!}{(1-x)^{k+1}} = \sum_{n=k}^{\infty} n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot \left( n - (k-1) \right) \, x^{n-k} \end{align*}$

Dividiert man die letzte Gleichung durch $\begin{align*} k! \end{align*}$ , so bekommt man unter der Summe den Binomialkoeffizienten. Den Rest probiere selbst.

01.12.2020, 14:15

ZauberwürfelSindToll

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke ersteinmal für die Antwort:
Den linken Teil der Gleichung verstehe ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{k!}{\left(1-p\right)^{k+1}}}{k!} = \left(1-p\right)^{-k-1} \end{eqnarray*}$
Aber der rechte Teil wird mir nicht ganz klar:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{n=k}^{\infty } (n\cdot ...\cdot \left(n-\left(k-1\right) \right)\cdot p^{n-k} }{k!} = \frac{\sum\limits_{n=k}^{\infty } n!\cdot p^{n-k} }{k!} = \sum\limits_{n=k}^{\infty } \frac{n!}{k!}\cdot p^{n-k} \end{eqnarray*}$ Aber wie ist jetzt der Ausdruck unter der Reihe gleich dem Binomialkoeffizienten n über k?
Dementsprechend müsste $\begin{eqnarray*} \left(1-p\right)^{-k-1} = \sum\limits_{n=k}^{\infty } \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein oder?

01.12.2020, 14:18

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{align*} n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot \left( n-(k-1) \right) \end{align*}$ ist nicht $\begin{align*} n! \end{align*}$ . Das Produkt enthält keine $\begin{align*} n \end{align*}$ , sondern nur $\begin{align*} k \end{align*}$ Faktoren, gerade wie man es beim Binomialkoeffizienten braucht.

01.12.2020, 14:27

ZauberwürfelSindToll

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, entschuldigung. Also habe ich in der Reihe das Produkt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=k}^{\infty } \prod\limits_{j=1}^{k} \frac{n-j+1}{j} = \sum\limits_{n=k}^{\infty } \begin{pmatrix} n \\ k \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder?
Die letzte Gleichung in meinem letzte Satz stimmt aber trotzdem oder?

01.12.2020, 14:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Leopold schon erwähnte: Dividiert durch $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ ergeben seine Umformungen oben

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=k}^{\infty} \binom{n}{k} x^{n-k} = \frac{1}{(1-x)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ , bzw. mit $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ multipliziert dann $\begin{eqnarray*} \sum_{n=k}^{\infty} \binom{n}{k} x^n = \frac{x^k}{(1-x)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ .

Angewandt auf $\begin{eqnarray*} x=\frac{p}{2} \end{eqnarray*}$ bekommt man somit

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=k}^{\infty} p^n\binom{n}{k}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{\left(\frac{p}{2}\right)^k}{\left(1-\frac{p}{2}\right)^{k+1}} = \frac{2p^k}{\left(2-p\right)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ ,

zuletzt wurde mit $\begin{eqnarray*} 2^{k+1} \end{eqnarray*}$ erweitert.

01.12.2020, 14:46

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ZauberwürfelSindToll
Die letzte Gleichung in meinem letzte Satz stimmt aber trotzdem oder?

In der Reihe hast du irgendwie das $\begin{align*} p^{n-k} \end{align*}$ verloren.

Für die Gesamtrechnung solltest du die Potenzen zusammenfassen:

$\begin{align*} p^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n = \left( \frac{1}{2} p \right)^n \end{align*}$

01.12.2020, 15:14

ZauberwürfelSindToll

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich danke euch, ich schreibe es jetzt einmal formal auf:
$\begin{eqnarray*} a\cdot \sum\limits_{n=k}^{\infty } p^{n}\cdot \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{2} \right) ^{n} = a\cdot \sum\limits_{n=k}^{\infty } \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot p \right) ^{n} = a\cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\cdot p \right) ^{k} }{\left(1-\frac{1}{2}\cdot p \right) ^{k+1} } = a\cdot \frac{4\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot p \right) ^{k} }{4\cdot \left(1-\frac{1}{2}\cdot p \right) ^{k+1} } = a\cdot \frac{2^{2-k}\cdot p^k }{2^{1-k}\cdot \left(2-p\right) ^{k+1} } = a\cdot \frac{2\cdot p^k}{\left(2-p\right) ^{k+1} } = \frac{2\cdot a\cdot p^k}{\left(2-p\right) ^{k+1} } \end{eqnarray*}$
Ich hoffe so stimmt es.

01.12.2020, 15:17

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

01.12.2020, 15:27

ZauberwürfelSindToll

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank! smile

Neue Frage »

Antworten »

Reihe umformen

Verwandte Themen