Abbildungsmatrix

01.12.2020, 13:35	ByI	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix Meine Frage: Mache gerade aufgaben zu Abbildungsmatrizen und stehe bei einer Aufgabe etwas auf dem Schlauch: Finde eine Darstellungsmatrix zu $\begin{eqnarray} f(X) = Spur(X)E, \quad X \in R^{2 \times 2} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Habe die Elemente der Basis eingesetzt und folgende rausbekommen: $\begin{eqnarray} <br /> f\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = E \\<br /> f\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = E \\<br /> f\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \\<br /> f\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 \\<br /> \end{eqnarray}$ Wie bekomme ich da jetzt die Abbildungsmatrix raus?
01.12.2020, 14:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst musst du die 2 Fehler korrigieren. Dann musst du dir überlegen, welches die beteiligten Vektorräume sind, zwischen denen f eine lineare Abbildung sein soll. Insbesondere welche Dimensionen und welche Basen sie haben. Die Bilder der Basisvektoren des Urbildraums bildet f auf Vektoren aus dem Bildraum ab. Die Komponentenvektoren dieser Bilder in der Basis der Bildraums dargestellt, stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix, so wie immer bei Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen.
01.12.2020, 15:09	ByI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups da habe ich wohl beim Aufschreiben nicht aufgepasst. Also f bildet von $\begin{eqnarray} R^{2\times 2} \end{eqnarray}$ in Span(E) ab. Eine Basis zu $\begin{eqnarray} R^{2\times 2} \end{eqnarray}$ wäre die kanonische Basis, zu Span(E) wäre eine Basis E. Dann ist: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> f\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = E = 1 \cdot E\\<br /> f\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 = 0 \cdot E\\<br /> f\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 0 = 0 \cdot E\\<br /> f\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E = 1 \cdot E<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich das Richtig verstanden habe. Was sind dann die Komponentenvektoren?
01.12.2020, 17:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du sicher, dass deine Abbildung f eine Linearform sein soll ? Dann ist die Abbildungsmatrix (1,0,0,1). Wenn f ein Endomorphismus werden soll, musst du die Bilder nur in der kanonischen Basis darstellen.
01.12.2020, 19:21	ByI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe keine Ahnung was eine Linearform ist also schätze ich mal nein. Wenn ich die Bilder mit der kanonischen Basis darstelle komme ich auf die Darstellungsmatrix: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0& 1\\1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0& 0<br /> \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Eine Darstellungsmatrix A der Abbildung f soll doch f(X) = AX erfüllen. Kann die beiden Matrizen A und X doch gar nicht mit einander multiplizieren? Jetzt bin ich noch mehr verwirrt...
01.12.2020, 19:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Linearform geht von einem K-Vektorraum in den Körper K, und weil jeder 1-dimensionale Vektorraum isomorph zu Grundkörper ist, wäre die einzeilige Matrix die passende Darstellung von der kanonischen Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2x2} \end{eqnarray}$ in die Basis $\begin{eqnarray} \{E\} \end{eqnarray}$ des UVR $\begin{eqnarray} span(E)<\mathbb R^{2x2} \end{eqnarray}$ . Allerdings schätze ich auch, dass die von dir angegebene Matrix fast das ist, was du brauchst, allerdings hast du wieder die Reihenfolge der kanonischen Basis mißachtet. Die richtige Darstellungsmatrix ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Eine Matrix $\begin{eqnarray} X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ entspricht dem Komponentenvektor $\begin{eqnarray} X=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . So kommt man zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+d \\ 0 \\ 0 \\ a+d \end{pmatrix}=(a+d) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+0+0+(a+d)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+d & 0 \\ 0 & a+d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Heureka, ich hab's (Ja, es verdreht ein wenig die Gehirnwindungen, aber es ist korrekt.)
Anzeige

01.12.2020, 20:34	ByI	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm sowas habe ich noch nie gesehen...Wird ein Weilchen dauern bis ich das alles verstanden habe. Vielen Dank!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »