Exponentialgleichung mit verschiedenen Exponenten

02.12.2020, 10:59

Mathman91

Exponentialgleichung mit verschiedenen Exponenten

Hallo,

ich komme bei folgender Expinentialgleichung nicht weiter?

$\begin{eqnarray*} e^{x}+2e^{-x}=3 \end{eqnarray*}$

Warum kann ich hier nicht einfach folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} ln(e^{x})+ln(2)+ln(e^{-x})=ln(3) \end{eqnarray*}$ ?

Ich verstehe das nicht.

VG

02.12.2020, 11:05

G021220

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RE: Exponentialgleichung unklar
lna + lnb ist NICHT ln(a+b)

Substituiere:
$\begin{eqnarray*} e^x=z \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} z+2/z+3=0 \end{eqnarray*}$

Du erhältst eine quadr. Gleichung in z.

02.12.2020, 11:05

HAL 9000

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Weil es die hier von dir angewandte Rechenregel $\begin{eqnarray*} \ln(x+y)\stackrel{???}{=} \ln(x)+\ln(y) \end{eqnarray*}$ nicht gibt! Forum Kloppe

02.12.2020, 11:06

G021220

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Korrektur:

$\begin{eqnarray*} z+2/z-3=0 \end{eqnarray*}$

02.12.2020, 15:38

Mathman91

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Woran erkenne ich, das ich substituieren muss?

02.12.2020, 15:43

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} e^{-x} = \frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$ sollte geläufig sein, damit ist diese Substitutions-Idee $\begin{eqnarray*} z=e^x \end{eqnarray*}$ doch nicht so abwegig, oder?

Zumal dadurch auschließlich rationale Terme in der substitutierten Variablen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ entstehen, was mittelbar auf eine Polynomgleichung führt. Und hat man Glück, dann ist deren Grad nicht all zu hoch (hier: Grad 2, also quadratische Gleichung), so dass man das ganze dann noch explizit lösen kann, d.h., keine Näherungsverfahren bemühen muss.

02.12.2020, 15:50

G021220

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Weil du verschiedene Exponenten hast e^x und e^-x.
Die muss man irgendwie zusammenführen.

Du kannst auch mit e^x multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} e^{2x}+2-3e^x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (e^x)^2-3e^x+2=0 \end{eqnarray*}$
Und dann substituieren.

04.12.2020, 11:06

Mathman91

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O.K., danke für die Hilfe.

Das heißt, sobald ich mehrere $\begin{eqnarray*} e^... \end{eqnarray*}$ habe die sich vom x unterscheiden (2x, 3x, ...), dann wende ich die Substitution an.

Bei diesem Beispiel substituiere ich mit: $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

Wenn ich z.B. folgendes Beispiel hätte:

$\begin{eqnarray*} 2*e^{3x}-6*e^{x}=0 \end{eqnarray*}$

müsste ich, wenn ich substituiere mit: $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ substituieren, da ich ja "hoch 3x" habe.

Hab ich das so richtig verstanden?

SG,
Mike

04.12.2020, 11:10

G041220

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Klammere $\begin{eqnarray*} 2*e^x \end{eqnarray*}$ aus und wende den Satz vom Nullprodukt an!

04.12.2020, 11:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathman91
Wenn ich z.B. folgendes Beispiel hätte:

$\begin{eqnarray*} 2*e^{3x}-6*e^{x}=0 \end{eqnarray*}$

müsste ich, wenn ich substituiere mit: $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ substituieren, da ich ja "hoch 3x" habe.

$\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ kommt nirgends direkt vor. Eine Substitution bietet sich da nicht an. Wenn überhaupt kommt die Substitution von e^x in Frage.

04.12.2020, 14:51

Mathman91

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Also bei:

$\begin{eqnarray*} 2*e^{3x}-6*e^{x}=0 \end{eqnarray*}$ muss ich mit: $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ substituieren.

Wenn ich jetzt z.B.: $\begin{eqnarray*} 2*e^{4x}-6*e^{2x}=0 \end{eqnarray*}$ muss ich: $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ substituieren.

Hätte ich jetzt aber: $\begin{eqnarray*} 2*e^{4x}-6*e^{x}=0 \end{eqnarray*}$ dann hätte ich auch hier: $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das mit substituieren lösen möchte.
Das ist jetzt nur eine Verständnisfrage.

Ist das so jetzt korrekt?

04.12.2020, 15:20

G041220

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Warum willst du substituieren, wenn man ausklammern und direkt den Satz vom Nullprodukt
anwenden kann? Das ist umständlich.

Wenn du aber unbedingt willst, dann ist deine Überlegung richtig für die genannten Fälle.
Ich würde aber maximal ausklammern, also 2e^x bzw. 2e^(2x) bzw. 2e^x.

04.12.2020, 15:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathman91
Wenn ich jetzt z.B.: $\begin{eqnarray*} 2*e^{4x}-6*e^{2x}=0 \end{eqnarray*}$ muss ich: $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ substituieren.

Du mußt nicht, du kannst. Da gibt es keine Vorschrift. Du kannst auch nur e^x substituieren. Oder $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ ausklammern. Oder $\begin{eqnarray*} 2e^{2x} \end{eqnarray*}$ ausklammern. Oder ...
Da gibt es viele Möglichkeiten. smile

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