Vektorfelder (Divergenz)

02.12.2020, 13:11	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorfelder (Divergenz) Hallo zusammen, ich habe eine Frage bezüglich folgender Aufgabe: Schreibe die Definition der Divergenz aus dem Ana2 Script auf. Es sei $\begin{eqnarray} w \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ein fest gewählter Vektor. Skizzieren Sie das Geschwindigkeitsfeld $\begin{eqnarray} v: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 , v(x):=w\times x \end{eqnarray}$ einer starren Drehung im euklidischen $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit der vektoriellen Drehgeschwindigkeit $\begin{eqnarray} w \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und berechnen sie seine DIvergenz. Meine Antwort: Definition Divergent aus Ana2 Script: Es sei $\begin{eqnarray} F=(F_1,...,F_n) \end{eqnarray}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge $\begin{eqnarray} U \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Dann heißt $\begin{eqnarray} divF(x):=\partial_1F_1(x)+...+\partial_nF_n(x) \end{eqnarray}$ die Divergenz des Vektofeldes im Punkt $\begin{eqnarray} x \in U. \end{eqnarray}$ . Das ist ja normalerweise auch nicht schwer mann muss die Erste Komponente des Vektorfeldes nach der 1 variablen partiell ableiten, die zweie Komponente des Vektorfeldes nach der zweiten partiell ableiten und so weiter und dies aufsummieren. Meine ideen/Fragen: Als erstes habe ich das Kreuzprodukt ausgerechnet: $\begin{eqnarray} \vec{v}=\vec{w} \times \vec{x} = \begin{pmatrix} w_2x_3-w_3x_2 \\ w_3x_1-w_1x_3 \\ w_2x_3-w_3x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So und nun was mach ich jetzt mich irritieren diese vielen $\begin{eqnarray} w_i,x_i \end{eqnarray}$ i=1,2,3... also rein logisch würde ich jetzt sagen das 0 rauskommt... weil in der ersten Zeile des Vektorfeldes v kein index 1 vorkommt und in der zweiten kein index 2 und so weiter und das aufsummiert ist dann 0+0+0=0 aber kann mir das wer erklären? und wie würde denn die Zeichnung aussehen? muss ich da irgendwas einsetzen und einzeichnen in Koordinaten? Hoffe ihr könnt mir bei meinen Verständnisschwierigkeiten helfen Liebe grüße Susanno95
02.12.2020, 22:49	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast dich da in der letzten Zeile des Kreuzproduktes verschrieben. Die Argumentation ist richtig. Man kann kompakt schreiben $\begin{eqnarray} w\times x = \sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}w_i x_j \mathbf e_k. \end{eqnarray}$ Daher gilt $\begin{eqnarray} \operatorname{div}(w\times x) = \sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk} w_i\partial_k x_j = \sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk} w_i\delta_{kj} = 0, \end{eqnarray}$ weil Levi-Civita-Symbol $\begin{eqnarray} \varepsilon_{ijk}=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} j=k \end{eqnarray}$ und Kronecker-Delta $\begin{eqnarray} \delta_{kj}=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} j\ne k \end{eqnarray}$ . Für eine Zeichnung würde ich das Koordinatensystem so drehen dass $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ auf der x-Achse liegt. Das macht $\begin{eqnarray} w\times x = \begin{pmatrix}w_1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ -w_1 x_3\\ w_1 x_2\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Das Feld ist konstant bezüglich $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ . Somit genügt die Zeichnung der $\begin{eqnarray} (x_2,x_3) \end{eqnarray}$ -Ebene. Dann ist zu zeichnen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_2 \\ x_3\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}-w_1 x_3 \\ w_1 x_2\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Das sieht so aus.

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