Numerischer Wertebereich LR-Zerlegung

02.12.2020, 16:29

NumerikNeu

Numerischer Wertebereich LR-Zerlegung

Hey

Ich lese mich gerade erst in die Numerik ein und bin in einem Buch über eine Aufgabe gestolpert, bei der ich irgendwie nicht richtig weiterkomme.

Wir haben den numerischen Wertebereich W(A) einer Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R}^{nxn} \end{eqnarray*}$ gegeben, der definiert ist als die Menge $\begin{eqnarray*} W(A) = \left\{ \frac{x^TAx}{x^Tx} | x\in \mathbb{R} \backslash{0}\right\} \end{eqnarray*}$ Nun soll gezeigt werden, dass die Matrix A eine LR-Zerlegung besitzt besitzt, also A =LR gilt. L ist dabei eine unipotente untere Dreiecksmatrix und R eine unipotente obere Dreiecksmatrix. Als Hinweis ist Induktion gegeben.

Ich habe mir dann folgendes gedacht.
Vielleicht könnte man das per Induktion über die Schritte k des Gauß-Algorithmus machen? Man könnte dann im k-ten Schritt vielleicht annehmen, dass man die Zwischenmatrizen schon berechnet hat und der nächste Schritt dann nicht durchführbar ist. Aber irgendwie komme ich jetzt nicht so richtig weiter und weiß auch nicht man das ganze aufschreiben kann. Würde mich über jeder Hilfe freuen, da die Materie noch ziemlich neu für mich ist.

03.12.2020, 15:57

HAL 9000

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Wenn ich das richtig einordne, dann dürfte $\begin{eqnarray*} W(A) = \left[\lambda_{\min},\lambda_{\max}\right] \end{eqnarray*}$ sein, wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_{\min} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda_{\max} \end{eqnarray*}$ die minimalen bzw. maximalen Eigenwerte der Matrix $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(A+A^T\right) \end{eqnarray*}$ sind (die ja der Symmetrie wegen nur reelle Eigenwerte hat).

Zitat:

Original von NumerikNeu
Wir haben den numerischen Wertebereich W(A) einer Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R}^{nxn} \end{eqnarray*}$ gegeben,

Was bedeutet es wenn du sagst "wir haben ihn gegeben" ? Kannst du diese Information auch an uns weitergeben, denn für einen beliebigen Wertebereich dürfte das hier

Zitat:

Original von NumerikNeu
Nun soll gezeigt werden, dass die Matrix A eine LR-Zerlegung besitzt besitzt, also A =LR gilt.

ja falsch sein, denn eine LR-Zerlegung setzt meines Wissens nach Regularität der Matrix voraus! Wenn man beispielsweise wüsste, dass $\begin{eqnarray*} 0\not\in W(A) \end{eqnarray*}$ ist, dann wäre das bereits hinreichend für Regularität. verwirrt

EDIT: Hier

https://www.onlinemathe.de/forum/lr-Zerlegung-23

hat es ein Kommilitone besser gemacht als du, indem er die hier eigentlich wichtige Voraussetzung $\begin{eqnarray*} 0\notin W(A) \end{eqnarray*}$ (wie ich oben schon vermutete) nicht vergessen hat. Augenzwinkern

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