Zahlenmenge Wurzel i

02.12.2020, 19:45	Detlev	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlenmenge Wurzel i Meine Frage: Welcher Zahlenmenge gehört die Zahl c an? c = (i)^(1/2) = (-1)^(1/4) mit i als imaginäre Zahl. Danke und LG Meine Ideen: Muss irgendwas über komplex sein, da ja mit z = a+bi mit a und b reell nicht darstellbar ist. Kenn mich da aber mit den Definitionen nicht aus.
02.12.2020, 19:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Carl Friedrich Gauß hat um 1800 bewiesen, dass jedes Polynom vom Grad n mit komplexen Koeffizienten genau n komplexe Nullstellen hat. Also hat das Polynom $\begin{eqnarray} x^2-i=0 \end{eqnarray}$ genau 2 komplexe Nullstellen, und die nennt man $\begin{eqnarray} \sqrt i \end{eqnarray}$ . Für die Berechnung bieten sich Polarkoordinaten an, dann erkennt man, dass sie den Betrag 1 haben und auf der 1. Winkelhalbierenden liegen. Sie haben dann die Darstellungen $\begin{eqnarray} a+ai \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -a-ai \end{eqnarray}$ , die reelle Zahl $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ darfst du (z.B. mit Pythagoras) berechnen.
02.12.2020, 20:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Zugang mehr mit Algebra: $\begin{align} z^2 - \operatorname{i} \end{align}$ ist ein Teiler von $\begin{align} z^4 + 1 \end{align}$ . Genauer gilt: $\begin{align} \left( z^2 - \operatorname{i} \right) \left( z^2 + \operatorname{i} \right) = z^4 + 1 = \left( z^2 + 1 \right)^2 - 2z^2 = \left( z^2 + 1 - \sqrt{2} \, z \right) \left( z^2 + 1 + \sqrt{2} \, z \right) \end{align}$ Die vier Nullstellen von $\begin{align} z^4 + 1 \end{align}$ können somit als die Lösungen zweier quadratischer Gleichungen mit reellen Koeffizienten bestimmt werden. Und zwei geeignete dieser Nullstellen sind Wurzeln von $\begin{align} \operatorname{i} \end{align}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »