Unleserlich! Direktes Produkt von Gruppen |
| 03.12.2020, 01:23 | kleaaa | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Direktes Produkt von Gruppen Seien (G1, ?1) und (G2, ?2) zwei Gruppen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen: (a) (4 Punkte) Das sogenannte direkte Produkt (G1 × G2, ?) ist wieder eine Gruppe, wobei die Verknüpfung zweierElemente (g1, g2),(h1, h2) ? G1 × G2 durch (g1, g2) ? (h1, h2) := (g1 ?1 h1, g2 ?2 h2)definiert ist. (b) (2 Punkte) Durch ?1((g1, g2)) := g1ist ein Gruppenhomomorphismus ?1: G1 × G2 ? G1 gegeben. Bemerkung: Ebenso ist durch ?2((g1, g2)) := g2 ein Gruppenhomomorphismus ?2: G1× G2 ? G2 gegeben, was Sie hier aber nicht nachprüfen müssen. (c) (6 Punkte) Sind eine weitere Gruppe (H, ) und zwei Gruppenhomomorphismen ?1: H ? G1 und ?2: H ? G2gegeben, so gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus ? : H ? G1 × G2 mit ?1 ? ? = ?1 und ?2 ? ? = ?2. Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass es höchstens einen Gruppenhomomorphismus ? mit den geforderten Eigenschaftengeben kann. Schreiben Sie 
h) ? G1 × G2 dazu als
h) = (?1(h),?2(h)).Meine Ideen: könnte jemand bitte diese Aufgabe lösen und eine Erklärung dafür geben?? |
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| 03.12.2020, 07:09 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist viel zu einfach als dass man sich damit beschäftigen möchte. Die Beweise gehen quasi automatisch, man muss sie nur machen oder irgendwo abschreiben. Wer will kann es sich noch einfacher machen und an den analogen Beweisen für Vektorräume orientieren, dann muss man nicht nachdenken. Wenn du in multilinearer Algebra bei Einführung des Tensorprodukts mit universellen Abbildungseigenschaften und kommutativen Diagrammen vor Langeweile eingeschlafen bist, kannst du das noch einmal anhören : https://timms.uni-tuebingen.de/List/List...neare%20Algebra . Ich finde diese Vorlesung ganz gut gemacht, auch wenn der Professor sich selbst ein bißchen langweilt, weil er wegen Corona allein im Hörsaal ist, und so auch mal statt schreibt (11. Stunde, Minute 9 bis 16) . Erklärt wird so etwas in den Grundlagen der Kategorientheorie, also wie gesagt nahezu trivial. |
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Unwissenschaftlich!