Ring, Körper, Struktur

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03.12.2020, 11:09	Yasminx3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ring, Körper, Struktur 1) In einem kommutativen Ring $\begin{eqnarray} (T,+,\cdot) \end{eqnarray}$ mit Einselement gilt: $\begin{eqnarray} a\cdot b=0 \end{eqnarray}$ impliziert $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b=0. \end{eqnarray}$ Rein intuitiv würde ich ja sagen, da ja a oder b wirklich null sein müssen, damit das Produkt null wird. 2) Sei $\begin{eqnarray} (B,\oplus,\otimes) \end{eqnarray}$ ein beliebiger Körper mit Einselement 1 und Nullelement 0. 2a) $\begin{eqnarray} b=c \end{eqnarray}$ impliziert $\begin{eqnarray} a\otimes b =a\otimes c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a,b,c\in B \end{eqnarray}$ 2b) $\begin{eqnarray} 1\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0 \end{eqnarray}$ impliziert $\begin{eqnarray} 1\oplus 1=0. \end{eqnarray}$ Diese beiden Aussagen müssen auch gelten. Noch eine kleine Verständnisfrage, das Nullelement bzw. das Einselement, das sind die neutralen Elemente bei einer Addition und Multiplikation? oder?
03.12.2020, 11:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Deine Intuition trügt. 1)+2) Vermutungen helfen nicht, du brauchst Beweise für wahre Aussagen und Gegenbeispiele für falsche Aussagen. 0 und 1 sind die neutralen Elemente, ja.
03.12.2020, 12:55	Yasminx3	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Elvis, ahh, ich bin die ganze Zeit am überlegen, warum das nicht stimmen können, also meine die 1). Kannst du mir noch paar Denkanstöße geben?
03.12.2020, 13:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Unterringe von $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ sind die Vielfachenringe $\begin{eqnarray} m\mathbb Z, m\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Das Standardbeispiel für Faktorringe sind die Restklassenringe $\begin{eqnarray} \mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Was kann man in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ über sie sagen ?
03.12.2020, 13:13	Yasminx3	Auf diesen Beitrag antworten »
Gedankenblitz. Klar! [3] * [3] = 0 bei z.B. Z/9Z Zum zweiten Teil mache ich mir grad noch Gedanken. Noch kleine Verständnisfrage: Gibt es einen Körper mit genau einem Element? Ja oder? Der Körper mit dem neutralen Element. Korrekt?
03.12.2020, 14:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Gedankenblitz ist die richtige Erleuchtung. Die Restklassenringe sind genau für p Primzahl Körper und damit nullteilerfrei. Für m=xy,x>1,y>1 ist [x][y]=[m]=[0]. Ein Körper ist eine Menge mit 2 verschiedenen Elementen 0 und 1 und den üblichen Axiomen. Der kleinste Körper hat 2 Elemente.
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03.12.2020, 23:19	Yasminx3	Auf diesen Beitrag antworten »
2b) Idee: Angenommen $\begin{eqnarray} 1\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0 \end{eqnarray}$ gilt aber $\begin{eqnarray} 1\oplus 1\neq 0 \end{eqnarray}$ , woraus die Existenz von $\begin{eqnarray} (1\oplus 1)^{-1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (1\oplus 1)^{-1}\otimes (1\oplus 1)= 1 \end{eqnarray}$ folgt. Dann gilt, $\begin{eqnarray} 0=(1\oplus 1)^{-1}\otimes 0 = (1\oplus 1)^{-1}\otimes (1\oplus 1\oplus 1\oplus 1) = (1\oplus 1)^{-1}\otimes \big((1\oplus 1)\oplus (1\oplus 1)\big)=(1\oplus 1)^{-1}\otimes (1\oplus 1)\oplus (1\oplus 1)^{-1}\otimes (1\oplus 1)=\left((1\oplus 1)^{-1}\otimes (1\oplus 1)\right)\oplus \left((1\oplus 1)^{-1}\otimes (1\oplus 1)\right)=1\oplus 1 \end{eqnarray}$ Somit stimmt diese Aussage.
04.12.2020, 07:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip richtig, aber das ist ein indirekter Beweis. Annahme : 1+1+1+1=0 und 1+1 ungleich 0. Daraus folgt 1+1=0. Das ist ein Widerspruch, also gilt die Behauptung.
04.12.2020, 08:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Übliche Schreibweise : Behauptung : Sei K ein Körper und 4=0, dann ist 2=0. Beweis : Annahme $\begin{eqnarray} 2\ne 0 \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} 0 =\frac 1 2 \cdot 4=\frac 1 2\cdot (2+2)=\frac 1 2\cdot 2+\frac 1 2 \cdot 2=1+1=2 \end{eqnarray}$ im Widerspruch zur Annahme. qed.
04.12.2020, 11:51	Yasminx3	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt, danke dir.

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