Ring, Körper, Struktur

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Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »
Ring, Körper, Struktur
1) In einem kommutativen Ring mit Einselement gilt: impliziert oder

Rein intuitiv würde ich ja sagen, da ja a oder b wirklich null sein müssen, damit das Produkt null wird. verwirrt


2) Sei ein beliebiger Körper mit Einselement 1 und Nullelement 0.

2a) impliziert und für alle

2b) impliziert

Diese beiden Aussagen müssen auch gelten. verwirrt


Noch eine kleine Verständnisfrage, das Nullelement bzw. das Einselement, das sind die neutralen Elemente bei einer Addition und Multiplikation? oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1) Deine Intuition trügt.
1)+2) Vermutungen helfen nicht, du brauchst Beweise für wahre Aussagen und Gegenbeispiele für falsche Aussagen.

0 und 1 sind die neutralen Elemente, ja.
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Elvis, Wink

ahh, ich bin die ganze Zeit am überlegen, warum das nicht stimmen können, also meine die 1).

Kannst du mir noch paar Denkanstöße geben? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Unterringe von sind die Vielfachenringe . Das Standardbeispiel für Faktorringe sind die Restklassenringe . Was kann man in Abhängigkeit von über sie sagen ?
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Gedankenblitz. smile

Klar!

[3] * [3] = 0 bei z.B. Z/9Z

Zum zweiten Teil mache ich mir grad noch Gedanken.


Noch kleine Verständnisfrage:
Gibt es einen Körper mit genau einem Element? Ja oder? Der Körper mit dem neutralen Element. Korrekt? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Gedankenblitz ist die richtige Erleuchtung. Die Restklassenringe sind genau für p Primzahl Körper und damit nullteilerfrei. Für m=x*y,x>1,y>1 ist [x]*[y]=[m]=[0].

Ein Körper ist eine Menge mit 2 verschiedenen Elementen 0 und 1 und den üblichen Axiomen. Der kleinste Körper hat 2 Elemente.
 
 
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

2b)
Idee: Angenommen gilt aber , woraus die Existenz von mit folgt. Dann gilt,


Somit stimmt diese Aussage. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip richtig, aber das ist ein indirekter Beweis.

Annahme : 1+1+1+1=0 und 1+1 ungleich 0.
Daraus folgt 1+1=0.
Das ist ein Widerspruch, also gilt die Behauptung.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Übliche Schreibweise :

Behauptung : Sei K ein Körper und 4=0, dann ist 2=0.
Beweis :
Annahme
Dann ist im Widerspruch zur Annahme.
qed.
Yasminx3 Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt, danke dir. Wink
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