Dimension eines Untervektorraums

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EinenReinorgeln Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension eines Untervektorraums
Meine Frage:
Hallo allerseits, ich habe eine Frage bezüglich der Dimension eines bzw. zweier UVR's:
Sei
Sei

Meine Ideen:
Bei U1 hatte ich keine Probleme (denke ich). Hier habe ich dim(U1) = n-1
Bei U2 hakt es etwas. Ich stelle mal meine Umformungen der Menge zu Verfügung:
<=> <=> <=> <=> <=> .
Soweit so gut (hoffe ich), jedoch weiß ich jetzt nicht weiter. Muss ich für die (-1)^n am Ende im letzten Vektor noch eine Fallunterscheidung machen, bzgl linearer Unabhängigkeit? Weil einfach so, würde dim(U2) = n-1 ebenfalls gelten oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Theorie: Der Kern eines homogenen LGS hat die Dimension des Raums abzüglich des Rangs der Matrix. Also in beiden Fällen n-1.
EinenReinorgeln Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, so einfach. Vielen Dank. Die Aussage werde ich mir merken!
EinenReinorgeln Auf diesen Beitrag antworten »

In der Hoffnung das Sie diesen Beitrag noch sehen:
dim(U1 n U2) = n-3, da jeweils 2 Vektoren aus den Basen herausfallen im Schnitt und somit die neue Schnittbasis n-3 Elemente besitzt.
Und damit gilt nach Dimensionsformel: dim(U1 + U2) = n-1+n-1-(n-3) = n+1
Nur wie kann es sein, dass bei der Addition eine "längere" Basis entsteht als das es der IR^n hat?
MFG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Rang der Matrix mit einer Gleichung ist jeweils 1, also . Der Rang der Matrix mit zwei l.u. Gleichungen ist 2, also . Die Dimensionsformel ist erfüllt und die Welt der Vektorräume in Ordnung.
EinenReinorgeln Auf diesen Beitrag antworten »

Aber muss ich nicht für den letzten Vektor in der Basis von U2 mit (-1)^n eine Fallunterscheidung hinsichtlich n gerade und n ungerade machen. Denn es gilt ja:
Ist n gerade, dann ist der Vektor nicht in der Basis von U1
Ist n ungerade, dann ist der Vektor in der Basis von U1 enthalten.
Dementsprechend würde ich für den Schnitt beider UVR's doch verschiedenen Längen der Basis bekommen, also auch verschiedene Dimensionen oder?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß ich nicht. 2 Gleichungen, Rang 2. Wenn beim Denken etwas anderes herauskommt als beim fehlerfreien Rechnen, stimmt mit dem Denken etwas nicht.
EinenReinorgeln Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wenn ich ihre Antwort richtig interpretiere, dann liege ich falsch.
Ich hatte in der VL allerdings noch nicht das Argument mit dem Rang (der Rang wurde noch nicht eingeführt, ich hab mich aber eingelesen was der Rang ist).
Hätten sie evtl noch einen Tipp für die Argumention ohne den Rang zu benutzen? Also für dim(U1 n U2).
Ich danke Ihnen!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Per Du ist uns hier lieber als per Sie. Ich sehe nicht, wo eine Fallunterscheidung nötig ist. Der letzte Vektor in U2 hat als einziger eine 1 als letzte Komponente, wird also immer in der Basis sein. Wie geht die Argumentation, dass der Durchschnitt die Dimension n-3 haben soll ?
EinenReinorgeln Auf diesen Beitrag antworten »

Fall1: n gerade
Ist n gerade, dann ist der letzte Vektor in der Basis von U2 (1,0,...,0,1)
Nun, da die Vektoren (1,1,0,..,0) und (1,0,...,0,1) nicht in U1 liegen, ist der Schnitt der Basen von U1 und U2 aus den Vektoren die Menge {(-1,0,1,0,...,0),...,(-1,0,...,0,1,0)} und diese Menge hat n-3 Elemente, somit ist dim(U1 n U2) = n-3 für den Fall das n gerade ist.

Fall2: n ungerade
Ist n ungerade, dann ist der letze Vektor in der Basis von U2 (-1,0,...,0,1), dieser liegt aber auch in der Basis von U1, somit ist der Schnitt der Basen von U1 und U2 aus den Vektoren die Menge {(-1,0,1,0,...,0),...,(-1,0,...,0,1)} und diese Menge hat n-2 Elemente, somit ist dim(U1 n U2) = n-2 für den Fall das n ungerade ist.

So hatte ich das gedacht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Durchschnitt von zwei Untervektorraeumen ist vom Durchschnitt ihrer Basen verschieden. Das führt wahrscheinlich zu deinem Denkfehler, den wir durch Rechnung vermeiden können - oder durch sorgfältige Untersuchung des Durchschnitts der Untervektorraeume, was mir zu mühsam wäre.
EinenReinorgeln Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, jetzt ergibt es einen Sinn. Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen smile
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