Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen - Schnellerer Weg?

04.12.2020, 13:54	student1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen - Schnellerer Weg? Meine Frage: Hallo! Folgende Angabe: In einem Experiment werde zunächst mit einem Würfel gewürfelt. Ist das Würfelergebnis größer als 4, wird noch einmal mit einem Würfel gewürfelt. Ist hingegen das erste Würfelergebnis kleiner oder gleich 4, wird noch einmal mit zwei Würfeln gewürfelt. Anschließend wird die Augensumme aller Würfelergebnisse summiert. Es beschreibe die Zufallsvariable Y das erste Würfelergebnis, und die Zufallvariable X die Augensumme aller Würfelergebnisse. Bestimmen Sie P(X > 10\|Y <= 4) und P(X > 10\|Y > 4). Hinweis: P(X > 10\|Y <= 4) bedeutet so viel wie, die Wahrscheinlichkeit dass X > 10 auftritt unter der Bedingung Y <= 4. Meine Ideen: Die Sache ist die, ich könnte das berechnen. Mit einem Baumdiagramm oder einer Tabelle mit allen möglichen Augensummen. Jedoch frage ich mich ob es nicht irgendeinen schnelleren Weg dafür gibt, vielleicht eine Formel oder so?
04.12.2020, 14:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen - Schnellerer Weg? Ich würde es über eine Tabelle der gemeinsamen Verteilung von $\begin{eqnarray} (X,Y) \end{eqnarray}$ machen, die ist schnell aufgestellt.
04.12.2020, 14:35	student1978	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen - Schnellerer Weg? @HAL 9000 Wie genau muss man denn da vorgehen?
04.12.2020, 14:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst betrachtet man $\begin{eqnarray} Z=X-Y \end{eqnarray}$ , d.h., die Augenzahlsumme der auf den ersten Wurf folgenden Würfe. Dann kennen wir die bedingte Verteilung von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ unter der Bedingung $\begin{eqnarray} Y=y \end{eqnarray}$ : Für $\begin{eqnarray} y\in\{5,6\} \end{eqnarray}$ ist das die Gleichverteilung auf 1..6, für $\begin{eqnarray} y\in\{1,2,3,4\} \end{eqnarray}$ hingegen eine diskrete Dreiecksverteilung auf 2..12. Darauf aufbauend kann man eine Tabelle für $\begin{eqnarray} P(Z=z,Y=y) = P(Y=y)\cdot P(Z=z\mid Y=y) = \frac{1}{6}\cdot P(Z=z\mid Y=y) \end{eqnarray}$ aufstellen, und mit der dann wiederum durch "Positionsverschiebung" auch $\begin{eqnarray} P(X=x,Y=y) = P(Z=x-y,Y=y) \end{eqnarray}$ . Langer Rede kurzer Sinn: $\begin{eqnarray} \begin{array}{\|r\|cccccccccccc\|}\hline 216\cdot P(Z=z,Y=y) & z=1 & z=2 & z=3 & z=4 & z=5 & z=6 & z=7 & z=8 & z=9 & z=10 & z=11 & z=12\\\hline y=1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\\ y=2 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\\ y=3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\\ y=4 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\\ y=5 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ y=6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\hline\end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{array}{\|r\|cccccccccccccc\|}\hline 216\cdot P(X=x,Y=y) & x=3 & x=4 & x=5 & x=6 & x=7 & x=8 & x=9 & x=10 & x=11 & x=12 & x=13 & x=14 & x=15 & x=16\\\hline y=1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ y=2 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0\\ y=3 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0\\ y=4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\\ y=5 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ y=6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0\\\hline\end{array} \end{eqnarray}$
08.12.2020, 10:54	student1978	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL 9000 Okay vielen Dank!
08.12.2020, 11:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar jetzt, wie man auf dieser Tabelle aufbauend die nachgefragten Größen berechnet? Falls nicht, kannst du ja gern weiter nachfragen.
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