"Einfache" Gleichung - oder DGL lösen

05.12.2020, 13:32

Physinetz

"Einfache" Gleichung - oder DGL lösen

Hallo miteinander,

leider bin ich bei meinem Problemchen bisher nicht weitergekommen, ich habe folgende Gleichung für die Beschleunigung eines Körpers
$\begin{eqnarray*} \frac{dV}{dt} = a = \frac{F-0.5*\rho * S * c_D * V^2(t)}{m_0 - F* b* t} \end{eqnarray*}$

a) Sieht erstmal aus wie eine DGL mit folgender Grund-Form: $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} =\frac{y^2(x)}{x} \end{eqnarray*}$ könnte man jetzt über Trennung der Variablen lösen und integrieren.

b) Nun möchte ich nicht $\begin{eqnarray*} dV/dt \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} dt/dV \end{eqnarray*}$ lösen um die Zeit zu erhalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dV} = \frac{1}{a} = \frac{m_0 - F* b* t}{F-0.5*\rho * S * c_D * V^2(t)} \end{eqnarray*}$

1. Überlegung: ich könnte vermutlich einfach Ansatz a) nutzen und statt nach V zu lösen einfach nach t umstellen.

2. Was mich bei der Gleichung in b) verwirrt, dass sie die Form $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \frac{y(x)}{x^2(y)} \end{eqnarray*}$ und dabei das x nun wiederum von y abhängig ist.

Ich bringe da vermutlich stark was durcheinander? Weil angenommen ich habe folgende Beispiel-DGL: $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = y^2(x) * x \end{eqnarray*}$ - hier ist doch x auch nicht wieder abhängig von y?

Danke für eure Tipps Hammer

05.12.2020, 14:33

Ulrich Ruhnau

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RE: "Einfache" Gleichung - oder DGL lösen

Zitat:

verbessertes Original von Physinetz
Hallo miteinander,

leider bin ich bei meinem Problemchen bisher nicht weitergekommen, ich habe folgende Gleichung für die Beschleunigung eines Körpers
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd v}{\dd t} = a = \frac{F-\frac 12\rho S c_D v^2(t)}{m_0 - Fbt} \end{eqnarray*}$

Es ist üblich, Geschwindigkeiten mit einem kleinen v und Volumen mit einem großen V zu bezeichnen. Deshalb habe ich die Formel mal verbessert. Die weitere Frage ist, ob die Größen $\begin{eqnarray*} \rho\, S\, c_D\, F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ zeitlich konstant sind. Wenn ja dann würde ich ein paar Konstanten jeweils zu einer zusammenfassen. Könntest Du vielleicht mal das physikalische Problem beschreiben. Es kommt mir so vor, als würde ein Gegenstand, der sich im Wasser auflöst, gerade auf den Boden sinken. Ist das so etwas?

05.12.2020, 15:35

Physinetz

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RE: "Einfache" Gleichung - oder DGL lösen
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd v}{\dd t} = a = \frac{F-\frac 12\rho S c_D v^2(t)}{m_0 - Fbt} \end{eqnarray*}$

Es handelt sich um einen beschleunigten Flug, bei dem der Luftwiderstand (der cD Anteil) sich mit der Geschwindigkeit ändert. F steht dabei für die Schubkraft. Die Masse des Flugzeugs nimmt mit der Zeit ab.

Kurzform von mir aus mit Konstanten:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd v}{\dd t} = a = \frac{F- k_1 v^2(t)}{k_2 t} \end{eqnarray*}$

Bzw. die für mich schwierig zu lösende Form:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd t}{\dd v} = \frac{k_2 t}{F- k_1 v^2(t)} \end{eqnarray*}$

Hast Du eine Idee als Physiker?

05.12.2020, 21:20

Ulrich Ruhnau

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RE: "Einfache" Gleichung - oder DGL lösen
Wenn, dann würde ich der Einfachheit mal vorschlagen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd v}{\dd t} = \frac{F-c v^2}{m - bt} \end{eqnarray*}$

Das könnte man vieleicht lösen mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} v=k\tanh x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=a+ln(m-b t) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k,\, a,\, m,\, b,\,F \end{eqnarray*}$ alles Konstanten sind.

Ich habe es jetzt noch mal nachgerechnet. Mein Ansatz führt auf die Lösung.

06.12.2020, 19:53

Physinetz

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Danke Ulrich,

und du meinst wenn ich könnte dann anschließend "einfach" nach t auflösen?

Weil benötigen tue ich ja t , daher die Frage nach dt/dv

Viele Grüße

07.12.2020, 14:28

Ulrich Ruhnau

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RE: "Einfache" Gleichung - oder DGL lösen
Was hindert Dich daran die notwendigen Ableitungen zu bilden?

aus $\begin{eqnarray*} v=k\tanh x \end{eqnarray*}$

wird $\begin{eqnarray*} \frac{\dd v}{\dd x}=k(1-\tanh^2 x)=k\left(1-\frac {v^2}{k^2}\right) \end{eqnarray*}$ .

Nun bilde noch $\begin{eqnarray*} \frac{\dd x}{\dd t} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x=a+ln(m-b t) \end{eqnarray*}$ !

Und anschließend verknüpfst Du beides mit

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd v}{\dd t}=\frac{\dd v}{\dd x}\cdot\frac{\dd x}{\dd t} \end{eqnarray*}$

Anschließend bestimmst Du noch die Konstanten. Erst dann kannst Du überlegen, ob sich das Ergebnis nach t auflösen läßt und ob das überhaupt nötig ist.

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