Geradengleichung für Geradenbüschel herleiten

06.12.2020, 11:03

holyxz

Geradengleichung für Geradenbüschel herleiten

Meine Frage:
Hallo und frohen Nikolaus,

ich sitze gerade an einer Herleitung für die Formel eines Geradenbüschels durch einen Punkt S. Ich möchte zeigen, dass die Geradengleichung durch
$\begin{eqnarray*} S = \lambda f(x) + \mu g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ bestimmt ist. Die Frage ist nur wie....

Meine Ideen:
An sich ist es ja eine Linearkombination aus zwei Geraden, die sich im Punkt S schneiden... vllt könnte man dort anfangen.

07.12.2020, 18:25

mYthos

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Das Geradenbüschel in Form einer Koordinatengleichung ist nur in R2 (zweidimensionaler Raum) sinnvoll.
In R3 gibt es von einer Geraden hauptsächlich die Parameterform, damit kommt man dort zwangsläufig zu der Ebenengleichung der von den Geraden f und g aufgespannten Ebene.
Deshalb hättest du angeben müssen, dass es sich um ein Geradenbüschel in R2 handelt.
Damit sind offensichtlich auch "f(x)" = 0 und "g(x)" = 0 Normalvektorgleichungen mit den allgemeinen Vektoren $\begin{eqnarray*} x \ \to \ \vec x = X \end{eqnarray*}$ .
Beachte, es besteht ein Unterschied zwischen Funktions- (f(x,y) = 0) und Vektorgleichungen (f(X) = 0)

Es seien S, X die Ortsvektoren zu dem Schnittpunkt S und zu den allgemeinen Punkten X auf den Geraden.

Ist $\begin{eqnarray*} \vec {n_1} \end{eqnarray*}$ ein Normalvektor zu g(X), $\begin{eqnarray*} \vec{n_2} \end{eqnarray*}$ jener zu g(X), dann ist

$\begin{eqnarray*} f(X): \ \vec {n_1} \cdot (X - S) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(X): \ \vec {n_2} \cdot (X - S) = 0 \end{eqnarray*}$
-----------------------------------
Nun ist jede Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec {n_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec {n_2} \end{eqnarray*}$ wieder ein Normalvektor einer Geraden des Büschels, damit gilt auch für jede Gerade b des Büschels

$\begin{eqnarray*} b(X): \ (\lambda \ \vec {n_1} + \mu \ \vec {n_2}) \cdot (X - S) = 0 \end{eqnarray*}$

Kannst du jetzt den Beweis zu Ende führen, du bist eigentlich fast schon fertig!
(Was muss mit dem Gleichungssystem gemacht werden, um zu der Gleichung von b(X) zu gelangen?)

mY+

08.12.2020, 11:15

holyxz

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@mYthos:

Ich danke dir! Das war wirklich extrem hilfreich. Zur gewünschten Gleichung komme ich auch. Perfekt!

Nur eine Frage habe ich noch. Bei Normalvektorgleichungen hat man doch normalerweise eine Konstante. Folglich müsste die Gleichung doch in der "Normalvektor-Form" doch so lauten:

$\begin{eqnarray*} \langle \vec{n_1}, X-S\rangle - a + \mu \langle \vec{n_2}, X-S\rangle - b = 0 \end{eqnarray*}$ oder?

08.12.2020, 14:39

mYthos

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Zitat:

Original von holyxz
...
Bei Normalvektorgleichungen hat man doch normalerweise eine Konstante. ...

Ja, klar. Diese Konstante kommt zutage, wenn man das Skalarprodukt ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} \vec {n} \cdot (X - S) = 0 \ \to \ \vec {n} \cdot X - \vec {n} \cdot S = 0 \ \to \ \vec {n} \cdot X = \vec {n} \cdot S \ \to \ \vec {n} \cdot X = c \end{eqnarray*}$ ; der rechte Teil der Gleichung ist die Konstante.

In Koordinatendarstellung haben wir dann
$\begin{eqnarray*} n_1x_1 + n_2x_2 - c = 0 \end{eqnarray*}$
-------------------------------

Zitat:

Original von holyxz
...
Folglich müsste die Gleichung doch in der "Normalvektor-Form" doch so lauten:

$\begin{eqnarray*} \langle \vec{n_1}, X-S\rangle - a + \mu \langle \vec{n_2}, X-S\rangle - b = 0 \end{eqnarray*}$ oder?

Das stimmt nicht. Deine a, b sollen die Konstanten sein? Die braucht man (hier) nicht extra, denn sie sind bereits als $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \vec {n} \cdot X = c \end{eqnarray*}$ enthalten, also als Konstante c mittels des Punktes S.
Einen Rechenfehler gibt es auch noch, wenn schon, müsstest du $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ mit dem ganzen Term $\begin{eqnarray*} \langle \vec{n_2}, X-S\rangle - b \end{eqnarray*}$ multiplizieren (es fehlt die Klammer).

Richtig wäre also

$\begin{eqnarray*} \langle \vec{n_1}, X-S\rangle + \mu \left(\langle \vec{n_2}, X-S\rangle\right) = 0 \text{ oder }\langle \vec{n_1}, X\rangle + \mu\langle \vec{n_2}, X\rangle = c_1 + \mu c_2; \ (\lambda = 1) \end{eqnarray*}$

bzw. in Koordinatenform:

$\begin{eqnarray*} n_{1_1}x_1 + n_{1_2}x_2 - c_1 + \mu(n_{2_1}x_1 + n_{2_2}x_2 - c_2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n_{1_1}+\mu n_{2_1})x_1 + (n_{1_2}+\mu n_{2_2})x_2 = c_1 + \mu c_2; \ (\lambda = 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ muss nicht 1 sein, es ist auch jede andere reelle Zahl (ungleich Null) möglich. Dementsprechend wird sich $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ändern, wenn damit dieselbe Gerade des Büschels erreicht werden soll.

mY+

23.12.2020, 14:33

holyxz

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Danke dir, echt richtig nett und sehr verständlich. Wünsche frohe Weihnachtstage!!

23.12.2020, 14:42

mYthos

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Das Gleiche auch dir, schöne Feiertage!
Und "keep math!"

mY+

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