Inverse einer gleichverteilten Zufallsvariablen

06.12.2020, 11:30	Tessa33	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse einer gleichverteilten Zufallsvariablen Meine Frage: Hallo, ich besuche freiwillig eine Statistik-Vorlesung und bin mit der folgenden Aufgabe überfordert, dabei müsste sie eigentlich recht leicht sein. X ist eine gleichverteilte Zufallsvariable im Intervall [a,b], was ist dann der Erwartungswert der Zufallsvariablen y=1/x? Schonmal Danke im Voraus! Meine Ideen: Dichtefunktion f(x) ist f(x)=1/(b-a) für x im Intervall [a,b], sonst 0. Erwartungswert E(X)=(a+b)/2 y liegt im Intervall von 1/b bis 1/a Der Erwartungswert ist E(Y)=Integral y * f(y) dy mit den Grenzen 1/a und 1/b aber wie finde ich f(y) raus um den Erwartungswert zu ermitteln?
06.12.2020, 12:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal sollte 0 nicht im Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ liegen, sonst existiert der gesuchte Erwartungswert gar nicht. Ich entnehme deinen Äußerungen, dass man $\begin{eqnarray} 0<a<b \end{eqnarray}$ voraussetzen darf? Zur eigentlichen Berechnung des Erwartungswerts: Benutze doch stattdessen $\begin{eqnarray} E\left(g(X)\right) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\cdot f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ , hier angewandt auf $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ sowie die Gleichverteilungsdichte $\begin{eqnarray} f_X(x) = \frac{1}{b-a}\cdot 1_{[a,b]}(x) \end{eqnarray}$ .
06.12.2020, 12:49	Tessa33	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000 und erstmal vielen Dank für die schnelle Hilfe! Kannst du mir noch verraten, was du mit \begin{eqnarray} 1_{[a,b]}(x) \end{eqnarray} meinst und wie man darauf kommen kann?
06.12.2020, 12:52	Tessa33	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach mist, das sollte natürlich $\begin{eqnarray} 1_{[a,b]}(x) \end{eqnarray}$ heißen
06.12.2020, 17:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na einfach die Indikatorfunktion: 1 auf dem Intervall [a,b], und 0 sonst. Da es um die stetige Gleichverteilung auf [a,b] geht, hättest du da aber auch wirklich selbst drauf kommen können...

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