Gruppenhomomorphismus, Linksnebenklasse

06.12.2020, 14:05	Jekyllvshyde	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismus, Linksnebenklasse Meine Frage: Hii, ich habe ne kleine Verstaendnisfrage zu Aufgabenteil b und c. Hier sollen wir zeigen, dass für eine beliebige aber feste positive reele Zahl r (nicht die 0), die Umkehrabbildung angewendet auf diese reele Zahl r gleich dem r-fachen des Kerns des Homomorphismus entspricht. Aber wie kann eine Umkehrabbildung eines nicht injektiven Homomorphismus existieren. Sofern ich Aufgabenteil b richtig habe, hier hatte ich den Kern nämlich als $\begin{eqnarray} ker(\phi) = \left\{ x+yi \in \mathbb{C}^{x} \| x^{2} + y^{2} = 1 \right\} \end{eqnarray}$ bestimmt und das Bild als ganz R ohne 0. Meine Ideen: Sofern der Kern nicht nur das neutrale Element der Gruppe C enthält ist der Gruppenhomomorphismus aber doch schon nicht mehr injektiv. Also entweder habe ich den Kern komplett falsch bestimmt und er besteht wirklich nur aus dem neutralen Element (aber z.B. bildet i auch schon auf die 1 ab ) oder ich habe die Aufgabenstellung nicht verstanden. Könnte mir jemand weiterhelfen?
06.12.2020, 14:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \varphi^{-1}(r) \end{eqnarray}$ bezeichnet das Urbild von $\begin{eqnarray} \{r\} \end{eqnarray}$ , also alle komplexen Zahlen, die den Betrag $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ haben. Dazu muss $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ nicht bijektiv und auch nicht injektiv sein
06.12.2020, 14:16	Jekyllvshyde	Auf diesen Beitrag antworten »
Omg, natürlich ist das Urbild gemeint, dass ist mir jetzt schon etwas unangenehm. Vielen Dank für die schnelle Antwort.
06.12.2020, 14:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem, das kann sonntags schon mal passieren.

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