Quadratisches Funktional

06.12.2020, 14:52	rem	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratisches Funktional Hallo zusammen. Ich stehe gerade vor folgender Aufgabe: --- Assume the quadratic function $\begin{eqnarray} \phi(x) = \frac{1}{2}x^{T}Ax - b^{T}x, x\in R^{2} \end{eqnarray}$ with $\begin{eqnarray} A = \begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 2 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ and some arbitrary $\begin{eqnarray} b\in R^{2} \end{eqnarray}$ . Determine the eigenvectors and eigenvalues of A and represent the function $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ in the coordinates of the orthonormal basis system consisting of the normalized eigenvectors. --- der erste Teil ist mir klar, eigenwerte und eigenvektoren von A ausrechnen. Für die Eigenwerte bekomme ich $\begin{eqnarray} \lambda_1 \end{eqnarray}$ = +1 und $\begin{eqnarray} \lambda_2 \end{eqnarray}$ = +3 heraus. Für die zugehörigen orthonormalen Eigenvektoren, erhalte ich dann $\begin{eqnarray} v_1 = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} v_2 = \begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Was muss ich nun aber für den zweiten Teil der Aufgabe tun ([...] *represent the function $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ in the coordinates of the orthonormal basis system consisting of the normalized eigenvectors.)? Also ich habe mir dazu folgendes überlegt: Wie haben ja die Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ . Diese kann ich für das lineare Glg. System auch schreiben als $\begin{eqnarray} x_1 \begin{pmatrix} 2 \\ -1\end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun habe ich eine neue Basis von den orthonormalen eigenvektoren erhalten: $\begin{eqnarray} v_1 = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2 = \begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} B = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Nun wollen wir einen Basiswechsel der Matrix A durchführen. D.h.: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} && -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} && \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \underbrace{\begin{pmatrix} T_{11} & T_{12} \\ T_{12} && T_{22}\end{pmatrix}}_{T} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Dabei ist T meine Transformationsmatrix. Stimmt das überhaupt was ich da mache? Wie gehts jetzt weiter. Bitte um Hilfe

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