Produkt durch 3 teilbar

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mathenoob_1 Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt durch 3 teilbar
Meine Frage:
Zeige, dass ein Produkt a · b ganzer Zahlen nur
dann durch 3 teilbar ist, wenn einer der Faktoren durch drei teilbar ist.

Meine Ideen:
Ich hab keine Ahnung, der einzige Hinweis den ich habe ist: Eine ganze Zahl ist dann nicht durch 3 teilbar, wenn sie von der Form 3n+1 oder 3n+2 ist
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das Lemma von Euklid für den Spezialfall .
mathenoob_1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hilft mir leider nicht weiter
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn man sich den Beweis auf der Wiki-Seite nicht durchlesen will, hilft das tatsächlich nicht weiter.
mathenoob_1 Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich habe ich mir durchaus den Artikel durchgelesen, aber was bringt es mir eine sinnlose Formel anzuschauen ohne zu wissen, was es damit auf sich hat? Ich hab nichts davon bisher gehört, wir haben das halt mit 2|a*b durchgeführt und ich hatte gehofft etwas ähnliches zu finden und nicht etwas komplett fremdes, was einen umso mehr verunsichert. Sprich ausmultiplizieren und dann mit der binomischen Formel erklären bspw.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Definition. Eine Zahl p ist genau dann eine Primzahl, wenn für alle ganzen Zahlen a und b gilt : ist p ein Teiler des Produkts ab, dann teilt p (mindestens) einen der Faktoren a oder b.
2. Lemma von Euklid: Eine natürliche Primzahl p hat nur die natürlichen Teiler 1 und p. Ist eine Primzahl ein Teiler des Produkts natürlicher Zahlen, dann teilt sie mindestens einen Faktor. Beweis : Zerlege alle Faktoren in Primzahlen und benutze die Definition der Teilbarkeit.
3. Wenn man wie Euklid nicht den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie über die eindeutige Zerlegung einer Zahl in Primzahlen kennt, dann muss man mehr Aufwand treiben. Es ist nicht nötig, selbst einen Beweis zu erfinden, denn Euklid hat das schon vor 2000 Jahren gemacht. Wenn man den Beweis verstehen will muss man ihn studieren. Wenn man ihn nicht versteht, kommt man mit der Definition 1. oder mit Hauptsatz bequemer zum Ziel.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es hat schon seinen triftigen Grund, warum der Wiki-Beweis über Bezout statt über den Hauptsatz geht: Weil die meisten Beweisvarianten des Hauptsatzes eben das Lemma von Euklid verwenden - und da möchte man doch keinen Zirkelschluss haben, oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Mit einer ordentlichen Divisorentheorie und meiner obigen Definition für Primzahlen kommt man gut durch, allerdings wird das schwieriger als die elementaren Ansätze der klassischen Mathematik. Wir wollen Fragesteller auch nicht überfordern, und alles zu erklären dauert Jahre...
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Du verrätst und leider nicht, was ihr da genau im Fall 2|ab gemacht habt.
Ich vermute etwas in der Art a=2m+1, b=2k+1, ab=(2m+1)(2k+1)=2(...)+1 ist nicht durch zwei teilbar.

Genau dasselbe kannst du hier anwenden, du hast nur mehr Möglichkeiten, wie a und b aussehen können, wenn sie nicht durch drei teilbar sind. In jedem Fall betrachtet man das Produkt und schließt, dass es nicht durch drei teilbar sein kann
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