Flächeninhalt Integral komplex

07.12.2020, 09:52	AnnaMarie99	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt Integral komplex Meine Frage: Hallo, ich habe gerade den Flächeninhalt eines Kreises (Radius=1) in der komplexen Zahlenebene berechnet und mir ist aufgefallen, dass das Vorzeichen von der definierten Kurve abhängig ist. mit $\begin{eqnarray} \phi_{1} (t) = e^{-it}, t \in [0, 2\pi] \end{eqnarray}$ bekomme ich: $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ und wenn ich die Kurve in die andere Richtung definiere, also: $\begin{eqnarray} \phi_{2} (t) = e^{-it}, t \in [2\pi, 0] \end{eqnarray}$ , ist das Ergebnis $\begin{eqnarray} -\pi \end{eqnarray}$ . Meine Frage ist jetzt ob das auch eine geometrische Bedeutung hat, denn wir haben den Flächeninhalt als $\begin{eqnarray} 1/2i \int_{\phi} z^{} dz \end{eqnarray}$ definiert, also ohne Betrag. Mit z^ meine ich das komplex konjugierte zu z. Vielen Dank schonmal im Voraus! Meine Ideen: Da ja beide Kurven den gleichen Kreis, bis auf die "Richtung" definieren habe ich wirklich keine Idee was das Vorzeichen bedeuten könnte.
07.12.2020, 12:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bei jedem Intregral, kehrt sich das Vorzeichen um, wenn man die Integrationsgrenzen vertauscht. Dein Flächenintegral kann man wie folgt herleiten: Indem man darin den Integranden $\begin{eqnarray} z^=x-iy \end{eqnarray}$ und das Differential $\begin{eqnarray} dz=dx+i\,dy \end{eqnarray}$ in Real- und Imaginärteil aufspaltet, ergibt sich $\begin{eqnarray} A=\tfrac{1}{2i}\oint z^dz=\tfrac{1}{2i}\oint \underbrace{(x-iy)}_{z^}\,\,\underbrace{(dx+idy)}_{dz}=\underbrace{\tfrac{1}{2i}\oint x\,dx+y\,dy}_{\text {imaginär}}\,\,\,+\,\,\, \underbrace{\tfrac{1}{2}\oint -y\,dx+x\,dy}_{\text{reell}} \end{eqnarray*}$ Der imaginäre Summand verschwindet aufgrund des Stokesschen Satzes. Der reelle Summanden ist die bekannte Leibnizsche Sektorformel, mit welcher man den Flächeninhalt von "Sektoren" berechnen kann. Quelle: WIKIPEDIA, Suchbergriff "Sektorformel von Leibniz"
07.12.2020, 12:51	AnnaMarie99	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für deine Antwort, meine eigentlich Frage war aber ob das Vorzeichen im speziellen für Kreise eine geometrische Bedeutung hat, bzw. wie man es in diesem Fall sinnvoll (wenn überhaupt) interpretieren kann. Viele Grüße
07.12.2020, 14:01	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematiker definieren das Vorzeichen einer Fläche formal wie folgt: Ein Kreis, den man auf ein Blatt Papier zeichnet, hat per definitionem den positiven Flächeninhalt A>0. Man sagt, die Fläche sei positiv orientiert. Guckt man dagegen "von der Rückseite" auf das (durchsichtige) Blatt Papier, dann hat derselbe Kreis einen negativem Flächeninhalt A<0. Ähnlich ist es beim Volumen. Angenommen man einen Gummi-Eimer mit einem Volumen V=20 Liter. Wenn man den Gummi-Eimer "auf links" dreht wie eine Socke, dann passen V=-20 Liter hinein (also ein negatives Volumen). Das Volumen hängt eng mit dem Begriff Determinante zusammen.
07.12.2020, 14:32	AnnaMarie99	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay vielen Dank fürs Erklären . Irgendwie hat das bei uns in Mathe bis jetzt noch keine Rolle gespielt.

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