Divergenz in krummlinigen Koordinaten mittels Christoffelsymbol

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abd334 Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz in krummlinigen Koordinaten mittels Christoffelsymbol
Meine Frage:
Hallo zusammen;
Ich versuche die Divergenz eines Vektorfeldes in Polarkoordinaten zu berechnen, also eigentlich eine Standardaufgabe. Das müsste ja theoretisch auch über die kovariante Ableitung gehen, siehe dazu https://de.wikipedia.org/wiki/Krummlinige_Koordinaten#Allgemeine_krummlinige_Koordinatensysteme
unter Abschnitt 10.3
Nur leider komme ich so nicht auf das richtige Ergebnis, zwar ist der Summand mit der Ableitung nach r richtig, jedoch fehlt mir bei der Ableitung nach phi der Vorfaktor ("1/r"). Ich komme einfach nicht drauf wo da genau das Problem liegt.


Meine Ideen:
Ich könnte mir vorstellen dass es etwas mit der Normierung der Richtungsableitung nach phi zu tun hat, die man unabhängig von der kovarianten Ableitung vielleicht noch durchführen müsste, aber sonst stehe ich vollkommen auf dem Schlauch.
Hoffentlich kann mir jemand von euch sagen, woher der Faktor bei dieser Vorgehensweise kommt. Danke!
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Divergenz ist ein Skalar, weshalb die kovariante Ableitung nicht ins Spiel kommen muss. Ich würde die Divergenz in Polarkoordinaten direkt berechnen:

Die Koordinatentransformation von Standardkoordianten , , zu Polarkoordinaten , , lautet bekanntlich





Die Umkehrung lautet





Damit kann man die Divergenz in Polarkoordinaten leicht berechnen. Wir gehen aus von der Divergenz bezüglich Standardkoordinaten, welche für ein Vektorfeld bekanntlich lautet



Mittels Kettenregel kann man diese 3 Summanden durch Ableitungen nach den ausdrücken und erhält



Die darin auftretenden 9 Ableitungen musst du aus der obigen Transformation für alle 9 Indexkombinationen i,j=1,2,3 berechnen und einsetzen. Eventuell muss man die danach noch verbleibenden Standardkoordinaten mit der obigen Transformationsformeln substituieren. Das ist eine einfache, aber etwas langwierige Rechnung.
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