Zusammenhang Elementare Drehmatrizen & Eulerwinkel

08.12.2020, 10:31	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang Elementare Drehmatrizen & Eulerwinkel Hallo, es gibt ja die elementare Drehmatrizen um die üblichen kartesischen Koordinatenachsen: z.B. um die x-Achse: $\begin{eqnarray} R_x(\alpha)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ z.B. um die y-Achse: $\begin{eqnarray} R_2(\beta)=\begin{pmatrix} \cos(\beta) & 0 & \sin(\beta) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\beta) & 0 & \cos(\beta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ entsprechend auch um die z-Achse der Vollständigkeit: $\begin{eqnarray} R_3(\gamma)=\begin{pmatrix} \cos(\gamma) & -\sin(\gamma) & 0 \\ \sin(\gamma) & \cos(\gamma) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1 Frage: Wenn ich die Matrizen miteinander multipliziere, z.B.: $\begin{eqnarray} R_3R_2R_1 \end{eqnarray}$ dann drehe ich zuerst um $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ um die x-Achse (durch R1) , anschließend um die NEUE sich ergebende y'-Achse um $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ (durch R2) und anschließend um die NEUE sich ergebende z'' Achse um $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ (durch R3). Dies entspricht dann den Eulerwinkeln? 2 Frage: Insgesamt lässt sich die Drehung $\begin{eqnarray} R_3R_2R_1 \end{eqnarray}$ auch durch eine einzige Drehmatrix darstellen. Dann habe ich den Hinweis gefunden: Eine beliebige Drehung (in 3D) lässt sich auch als Drehung um einen Winkel ¸ um genau eine Achse – die Drehachse – beschreiben. Das heißt, ich kann die Drehungen aus Frage 1, die ich als eine beliebige Drehung auffassen kann. eben auch durch eine Drehachse und einen Drehwinkel angeben, richtig? 3 Frage: Wie sehen die Drehmatrizen aus wenn ich stets um die festen Achsen des üblichen kartesischen Koordinatensystems drehen möchte. Zuerst um x, dann um y dann um z. Also nicht x dann y' dann z'' . -- > hier habe ich gerade einen Hinweis im Internet gefunden: eine Drehung um xyz im raumfesten Koordinatensystem enspricht zy'x'' Drehung im mitgedrehten Koordinatensystem, das lässt sich also ineinander überführen. Danke für Eure Hinweise vg Physinetz
08.12.2020, 11:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Elementare Drehmatrizen & Eulerwinkel zu 1. Die Drehachsen ändern sich nicht. $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ dreht um die y-Achse. Sonst müsste ja $\begin{eqnarray} R_1e_y \end{eqnarray}$ bei Multiplikation mit $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ invariant sein. Die Drehmatrizen sind die Abbildungsmatrizen von Drehungen bzgl. der Standardbasis. Daran ändert sich nichts, wenn man vorher andere Abbildungen ausführt. zu 2. Drehungen sind orthogonale Abbildungen. Diese Abbildungen bilden eine Gruppe. Also bekommt man immer eine Drehung oder eine Spiegelung heraus. Ist der Eigenraum zum Eigenwert 1 eindimensional, hat mein eine Drehung, die Drehachse ist der Eigenraum. Zweidimensionaler UR bedeutet Spiegelung, dreidimensional ist die Identität.
08.12.2020, 13:51	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke URL. 1. Hier habe ich verstanden, dass ich also durch meine Multiplikation der elementaren Drehmatrizen stets um die Standardbasen drehe. Bei den Eulerwinkeln drehe ich ja aber um mein neues Koordinatensystem: https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Winkel#Beschreibung_durch_intrinsische_Drehungen Ursprünglich: x, y z -- > Drehung z.B. um x mit $\begin{eqnarray} R_x(\alpha)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nach der ersten Drehung neues Koordinatensystem: x' , y' , z' Drehung nun um z.B. y' Wie sieht die dazugehörige Matrix zur Drehung um y' aus und wie kann ich den Vorgang in einer Matrix darstellen (der beiden Drehungen um x und y')? Vielen Dank :-)
08.12.2020, 14:30	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich noch etwas ergänzen darf: https://www.youtube.com/watch?v=9UcPvePRWCM In diesem Video werden die Eulerwinkel direkt in die elementaren Rotationsmatrizen eingesetzt. Das heißt es wird immer um die kartesische Standardbasis ( ( 1 0 0 ) ; (0 1 0) ; (0 0 1) ) gedreht. Dabei werden die Eulerwinkel ja durch eine Drehung um die jeweils gedrehten neuen Basisvektoren erzeugt und nicht aus den elementaren Rotationsmatrizen (DCM Matrizen)? Wie ich bereits beschrieben hatte: Ursprünglich: x, y z -- > Drehung z.B. um x mit nach der ersten Drehung neues Koordinatensystem: x' , y' , z' -- > Drehung nun um z.B. y' nach der zweiten Drehung neues Koordinatensystem: ... Das verwirrt mich nun... Ich glaube es hat irgendwie etwas zu tun mit: https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=495170&hilight=eulerwinkel Aber selbst wenn man die Eulerwinkel nutzt (die relativ zum mitgedrehten Koordinatensystem definiert sind) dann dreht man doch mit den elementaren Rotationsmatrizen (aus meinem 1. Post) stets um die Standardbasis ( ( 1 0 0 ) ; (0 1 0) ; (0 0 1) )
08.12.2020, 20:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Allem Anschein nach verwendet man im Video die Konvention mit extrinsic rotations Zumindest redet er von 321 und 313

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