Residuum von ((z+1/z)^2)/(-2z^2 +5z-2)

08.12.2020, 12:53	triton	Auf diesen Beitrag antworten »
Residuum von ((z+1/z)^2)/(-2z^2 +5z-2) Meine Frage: Hallo, ich habe die folgende Funktion vorliegen und soll ihre Residuen finden, mir fehlt noch das im Punkt null (z+1/z)^2)/(-2z^2 +5z-2). Ich würde gern wissen, ob es einen besseren Ansatz als den allgemeinen für Pole n-ter Ordnung gibt. Meine Ideen: Ich habe es mit dem allgemeinen Ansatz probiert, also Res(f) = 1/(n-1)! lim z-> a d^n-1/dz^n-1 ((z-a)^nf(z)) aber komme dort nicht auf richtige Ergebnisse.
08.12.2020, 13:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest versuchen, via $\begin{eqnarray} g(z) = \frac{\left(z+\frac{1}{z}\right)^2}{-2z^2+z-2} = -\frac{1}{2z^2}\cdot \frac{\left(1+z^2\right)^2}{1-\frac{z}{2}+z^2} \end{eqnarray}$ den Bruchterm rechts in eine Potenzreihe zu entwickeln - wir benötigen für das Residuum ja nur das lineare Glied: $\begin{eqnarray} \frac{\left(1+z^2\right)^2}{1-\frac{z}{2}+z^2} = \left(1+O\left(z^2\right)\right)\cdot \left(1+\frac{z}{2}+O\left(z^2\right)\right) = 1+\frac{z}{2}+O\left(z^2\right) \end{eqnarray}$ , das bedeutet $\begin{eqnarray} \frac{\left(z+\frac{1}{z}\right)^2}{-2z^2+z-2} = -\frac{1}{2z^2}~ {\color{red} -\frac{1}{4z}} ~+~ O\left(1\right) \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} \operatorname{Res}_0 g(z) = -\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ .

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