Visuelle Vorstellung von elementaren Zeilenumformungen

08.12.2020, 15:21	RuWe	Auf diesen Beitrag antworten »
Visuelle Vorstellung von elementaren Zeilenumformungen Meine Frage: Hi an alle, ich bin ganz neu im Forum, hoffe also ich mach das hier richtig, sonst freu ich mich über alle Verbesserungen! Zu meiner Frage: Wie kann ich mir die 3. elementare Zeilenumformung visuell vorstellen? Heißt: Was passiert bildlich mit einem Vektor(oder besser allen Vektoren eines Raumes), wenn ich auf diesen, die Elementarmatrix anwende, die das x-fache einer Zeile zu einer anderen addiert? Meine Ideen: Also was ich mir vorstelle: - Die erste elementaren Zeilenumformung, also der Zeilentausch, bewirkt so etwas wie ein Orientierungswechsel des Raums... Also die Koordinatenachsen werden quasi umbenannt... - Die zweite Umformung, eine Zeile mit einem Skalar zu multiplizieren, verzerrt (strecken oder verkürzen) den Raum in eine Richtung Aber zur dritten Umformung fällt mir keine sinnvolle Idee ein (falls die anderen beiden überhaupt sinnvoll sind ) Klar ist natürlich das der Raum auch irgendwie verzerrt wird, aber was hat es damit auf sich das eine Zeile oder Achse in Beziehung zu einer Anderen manipuliert wird (also über die Addition)? Die fehlende Vorstellung lässt mich nicht ganz begreifen, warum die 3. Umformung überhaupt so elementar ist, also warum sie überhaupt sinnvoll ist. Bei einer Addition geht es ja irgendwie immer um eine Verschiebung oder? Aber warum ist es dann nur elementar, wenn ich das vielfache einer Zeile addiere? Irgendwas klickt da noch nicht ganz... Ich dank euch für eure Zeit!
08.12.2020, 17:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß hat dabei nicht an elementare Operationen in geometrischen Räumen gedacht sondern an elementare Schritte im Algorithmus zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Man macht dabei nicht etwas Elementares mit Vektoren oder mit Koordinaten sondern mit Gleichungen. In der Schule hat man uns schon das "Additionsverfahren" beigebracht, das ist eine einfache Möglichkeit, mit der man manches Gleichungssystem vereinfachen kann. Nachtrag: Wenn du wissen möchtest, wie locker Mathematiker und Physiker mit Matrizen und Algorithmen hantieren, ohne dass sie die Geometrie oder Physik ständig mitdenken, dann schau dir mal diesen kleinen Ausschnitt bis zur Minute 38 einer Vorlesung "Multilineare Algebra" über Tensorprodukte an: https://timms.uni-tuebingen.de/tp/UT_202...01_lineal2_0001 Du musst nicht verstehen, was Prof. Thomas Markwig da macht, du kannst erleben und geniessen, wie einfach die elementaren Algorithmen arbeiten.
09.12.2020, 00:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bei den beiden anderen Transformationen kann man sich das mit einem Basiswechsel veranschaulichen. Wenn du das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ -fache der ersten Gleichung zur zweiten addierst steckt im Grunde nur folgendes dahinter: $\begin{eqnarray} x=x_1b_1+x_2b_2=x_1b_1+(x_2+\lambda x_1)b_2 -\lambda x_1b_2=x_1(b_1-\lambda b_2)+(x_2+\lambda x_1)b_2 \end{eqnarray}$ . Stellst du den Vektor x in der Basis $\begin{eqnarray} b_1,b_2 \end{eqnarray}$ dar, dann hat er die Koordinaten $\begin{eqnarray} (x_1,x_2) \end{eqnarray}$ . In der Basis $\begin{eqnarray} b_1-\lambda b_2,b_2 \end{eqnarray}$ hat er die gewünschten Koordinaten $\begin{eqnarray} (x_1,x_2+\lambda x_1) \end{eqnarray}$

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