Matrizen, Ähnlichkeit, Inverse Matrix. Beweis B = CAC^-1 |
| 08.12.2020, 16:02 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Matrizen, Ähnlichkeit, Inverse Matrix. Beweis B = CAC^-1 Hallo, ich stelle mal die Aufgabenstellung hier rein: Seien A und B zwei quadratische Matrizen gleicher Grösse. A ist ähnlich zu B wenn eine invertierbare Matrix C existiert, so dass gilt B = CAC^-1. Sei nun A ähnlich zu B. Zeigen Sie, dass dann gilt (a) B ist ähnlich zu A. (b) A ist invertierbar dann und nur dann wenn B invertierbar ist. (c) A^T ist ähnlich zu B^T. (transponiert) Vielen Dank für jede Hilfe! Meine Ideen: Es geht eigentlich nur um Nummer 2, hier fehlt mir leider der Ansatz, hat jemand einen Denkanstoß? a) und c) habe ich so versucht zu lösen: a) B = CAC^-1 Multiplikation mit C von rechts: (kann man hier von rechts bzw. links multiplizieren?) BC = CAC^-1*C <=> BC = CA Multiplikation mit C^-1 von links: C^-1*BC= C^-1*CA <=> C^-1*BC = A c) analog mit A^T bzw B^T |
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| 08.12.2020, 16:36 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei b hilft die Determinante. |
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| 08.12.2020, 17:03 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke erstmal für die Antwort, dazu habe ich auch etwas im Internet gefunden. In unseren Vorlesungen wurde das allerdings bisher noch nicht thematisiert, daher denke ich ist ein anderer Lösungsweg gedacht. 
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| 08.12.2020, 17:34 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn A invertierbar ist, dann kann man die Inverse von , und damit die Inverse von B, direkt hinschreiben. |
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| 08.12.2020, 17:41 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, aber wie zeigt mir das jetzt, dass A nur dann invertierbar ist, wenn B invertierbar ist? |
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| 08.12.2020, 17:44 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, mir ist noch was eingefallen: Wenn B nicht invertierbar ist, dann ist auch der Ausdruck CAC^-1 nicht invertierbar. Damit kann auch A nicht invertiert werden. Somit kann A nur invertiert werden, wenn B invertierbar ist. Ist das die richtige Folgerung? |
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| 08.12.2020, 17:51 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist nicht die richtige Folgerung. Unter der Voraussetzung, das A ähnlich zu B ist haben wir gezeigt: Ist A invertierbar, dann ist B invertierbar (*) Dazu ist logisch äquivalent: Ist B nicht invertierbar, dann ist A nicht invertierbar. Du hast also nur nochmal formuliert, was du schon weißt. Nehmen wir an, B ist invertierbar. Aus der Voraussetzung "A ähnlich zu B" folgt nach Teil (a) "B ähnlich zu A". Und jetzt kann man die schon gezeigte Aussage (*) nutzen, man muss nur die Rollen von A und B tauschen. |
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| 08.12.2020, 19:17 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wo haben wir denn genau das gezeigt? In Aufgabenteil a) wird ja keine Invertierung von A oder B verwendet
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| 08.12.2020, 19:30 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also nochmal: Die generelle Voraussetzung lautet: A ist ähnlich zu B, also . Wenn A invertierbar ist, dann kann man die Inverse von direkt hinschreiben, also auch die Inverse von B, also ist B invertierbar. Also: Ist A invertierbar, dann ist B invertierbar (*) Soweit noch dabei? Jetzt soll noch die Umkehrung gezeigt werden: Wenn B invertierbar ist, dann ist auch A invertierbar. Aus "A ist ähnlich zu B" folgt nach (a) aber auch "B ist ähnlich zu A" Und jetzt kann man die schon gezeigte Aussage (*) nutzen, man muss nur die Rollen von A und B tauschen. Wenn dir das zu kompliziert ist, dann schreib einfach und davon die Inverse hin. |
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| 08.12.2020, 19:35 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir ist einfach nicht ganz klar, wie du darauf schließt. Also die Inverse von CAC^-1 = C^-1 A^-1 C , richtig? und das ist gleich der Inversen von B. Daraus folgt: Ist A invertierbar, dann ist B invertierbar (*) Danke dir für die Hilfe! |
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| 08.12.2020, 19:38 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist |
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| 10.12.2020, 19:52 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke nochmal für deine Antworten. Hat mir geholfen! 
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