Kegel in Kugel - Mantelfläche maximieren

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Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Kegel in Kugel - Mantelfläche maximieren
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Gegeben sei ein in eine Kugel eingeschlossener Kegel. Die Kugel hat den Radius R,
der Kegel den Radius r und die Höhe h. DIe Mantelfläche soll maximiert werden.

Skizze:

http://www.julianthomas.de/bild.jpg

Soweit mein Ansatz:


(es gilt: und h=R+x )

Desweiteren gilt:


Wenn ich das jetzt alles zusammenführe, kommt da das heraus (ich hoffe, dass nicht da schon ein Fehler drin ist):


Aber da hörts dann auch auf mit meinen Kenntnissen. Wie kann ich da noch vereinfachen und irgendwann differenzieren???


Danke für irgendwelche Hilfen

Julian
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel in Kugel - Mantelfläche maximieren
Hi, machs so:



Und jetzt: Du kannst den konstanten Faktor weglassen, da folgendes völlig logisch ist:

Wenn die Funktion an der Stelle eine Extremstelle besitzt, dann besitzt auch die Funktion an dieser Stelle eine Extremstelle, wenn k irgendeine reelle Zahl ist.

Ich hoffe, das ist klar. Dann auch noch folgendes:

Wenn die Funktion an der Stelle eine Extremstelle besitzt, dann besitzt auch die Funktion an dieser Stelle eine Extremstelle, weil: Wenn eine Zahl (hier ) größer bzw. kleiner ist als andere, dann ist auch ihre Wurzel größer bzw. kleiner.

Auch klar? Dann brauchst du bei deiner Funktion nur den Teil



zu betrachten. Differenziere also die Funktion



und setze 0 und bestimme r. Das ist dann dein Extremwert. Und weitere Rechnungen wie sonst immer... Augenzwinkern
Gast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel in Kugel - Mantelfläche maximieren
Danke für die schnelle Hilfe Augenzwinkern
Soweit habe ich das alles verstanden. Nur wie differenziere ich nun diese Funktion?
Was mache ich mit dem Wurzelausdruck?
Ich habe bisher Funktion solcher Art in der Schule noch nicht differenziert.

Julian
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel in Kugel - Mantelfläche maximieren
Nagut, am besten wir formen nochmal um mit der binomischen Formel:





Und jetzt ganz einfach: kannst du differenzieren oder? Und das rechte, also kannst du nach Produktregel ableiten. Wende auch noch folgendes an:
Wenn



dann:



, also Kettenregel und die Wurzel leitest du ganz normal, wie wenn du x³ ableitest, nach der Potenzregel ab:



Verstanden? Augenzwinkern
demage Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel in Kugel - Mantelfläche maximieren
Zitat:

kannst du nach Produktregel ableiten. Wende auch noch folgendes an:
Wenn



dann:






ist das nicht die umkehrregel??
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel in Kugel - Mantelfläche maximieren
Nein! Das ist einfach die Ableitung der verketteten Wurzelfunktion:



 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS

du hast dir die weitere Berechnung leider nicht überlegt, sie artet - wenn die Ableitungen überhaupt richtig gemacht werden, was ich zumindest bei der 2. Ableitung bezweifle - in eine Wurzelorgie aus, die für den Schüler wahrscheinlich unlösbar ist.

Besser erscheint es, umgekehrt zu verfahren, d.h. die Zielfunktion nach dem Weglassen von zu quadrieren und mittels der beiden Beziehungen


und

günstig zu substituieren.

Es folgt dann nach nochmaliger Vereinfachung und relativ leichter Rechnung


und


Bei Interesse kann ich den ganzen Rechenweg posten.

Gr
mYthos
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
@MSS

du hast dir die weitere Berechnung leider nicht überlegt, sie artet - wenn die Ableitungen überhaupt richtig gemacht werden, was ich zumindest bei der 2. Ableitung bezweifle - in eine Wurzelorgie aus, die für den Schüler wahrscheinlich unlösbar ist.

Besser erscheint es, umgekehrt zu verfahren, d.h. die Zielfunktion nach dem Weglassen von zu quadrieren und mittels der beiden Beziehungen


und

günstig zu substituieren.


Ich habs nich durchgerechnet, hast Recht. Aber beim Quadrieren kommt ja das gleiche, was ich auch andeuten wollte, raus.

Zu den Beziehungen: Willst du das schon vor der Ableitung einsetzen? Dann wäre es doch eine Funktion mind. 2er Veränderlicher. Ich debke nicht, dass das hier gewünscht ist. verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Sorge, es geht alles ganz konventionell.

Die Zielfunktion wird noch VOR dem Ableiten mittels der beiden Nebenbedingungen auf nur noch eine Variable gebracht.


1. Vereinfachung: weglassen, danach quadrieren


NB1:



nun wird von NB2 für

eingesetzt:


damit wird

und

bzw.


dies ergibt in M1:

2. Vereinfachung: 2R weglassen





M2 ' = 0 (h sinnvollerweise nicht 0) ->


M2 '' (4R/3) = 4R - 8R = -4R < 0 Max.

weiter dann wie üblich, s und r aus den Nebenbedingungen berechnen ..




Gr
mYthos
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so meintest du das.

Ich dachte, du wolltest in f(r) (die Funktion von weiter oben) die Vereinfachungen einsetzen, aber so gehts ja. :]
Gidi Auf diesen Beitrag antworten »

hei!

ich hätte da noch fragen.

-ich kann nicht nachvollziehen warum man als vereinfachung weglassen kann.

-dann als erweiterung der fragestellung:
wie groß ist in dem fall das volumen des kegels?

-bezieht ihr diese antworten durch eigene überlegungen oder gibt es bücher bzw. formeln die das beschreiben?
gidi Auf diesen Beitrag antworten »

ich mach in mathe über diese aufgabe eine gfs und da muss ich quellen angeben und ich glaub es wäre schlecht dieses forum als quelle anzugeben :-D

hättet ihr da auch vorschläge?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich kann nicht nachvollziehen warum man als vereinfachung weglassen kann.


Ein kostanter Faktor vor einem Term streckt oder staucht den Graphen der Funktion nur, hat aber keinen Einfluss auf den Ort ihrer Extrempunkte.

Geh das Spielchen einfach mal im Kopf durch:

Du möchtest ja im Endeffekt M(r) ableiten und dann die Nullstellen von M '(r) bestimmen.

Wenn du nun M(r) ableitest schleppst du den konstanten Faktor pi nur mit.
Durch Nullsetzen wirst du dann eh die Gleichung direkt durch pi dividieren, wodurch diese Konstante auf beiden Seiten der Gleichung wegfällt und somit keinen Einfluss auf die Extremstelle hat.

Das Weglassen der Konstante ist eben eleganter, bedarf aber schon einer treffenden Begründung....wenn dir das also nicht so ganz einleuchtend ist dann schleppe die Konstante halt erstmal mit, ist ja jetzt auch nicht mit großer Arbeit verbunden Augenzwinkern

Beim Nullsetzen der ersten Ableitung fällt sie dann halt wie oben geschildert wieder weg.

Viel entscheidender ist der Schritt vorher, nämlich das r mit unter die Wurzel zu ziehen, weil man sich dadurch etwas Arbeit erspart, da man sonst noch die Produktregel anwenden müsste.

Zitat:
wie groß ist in dem fall das volumen des kegels?


Naja wenn du r berechnet hast, erhälst du durch einsetzen auch h und somit auch das Volumen des Kegels.

Zitat:
bezieht ihr diese antworten durch eigene überlegungen oder gibt es bücher bzw. formeln die das beschreiben?


Ich kann da zwar jetzt nur von mir sprechen und weiss auch nicht worauf du genau anspielst, aber was hier gemacht wurde ist eben die typische Vorgehensweise von Extremwertproblemen.

Man identifitziert die Größe, die maximiert bzw minimiert werden soll und versucht diese dann durch bestimmte Nebenbedingungen als Funktion zu schreiben, die nur noch von genau einer Größe (hier Radius r) abhängt.

Danach folgen eben die üblichen Schritte zur Bestimmung des Extrempunktes.

Gruß Björn
gidi Auf diesen Beitrag antworten »

okay jetzt versteh ichs aber was passiert mit der wurzel?

die verschwindet einfach deshalb weil ich ableite, oder?


danke für die schnelle hilfe ;-)
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Joa, also verbal hat das der Mathespezialschüler oben auch schon auf den Punkt gebracht...also dass man auch schon direkt den Radikanten nehmen kann (Term unter der Wurzel).

Wenn man das Spielchen wiederum Schritt für Schritt MIT Wurzel durchgehen würde....also den Wurzelterm ableiten und dann nachher die Wurzel gleich null setzen, dann gilt ja folgendes:

Ein Bruch(term) wird genau dann null, wenn der ZÄHLER(term) null wird, da der Nenner ja eh nicht null werden darf.

Aufgrund der Kettenregel, die man ja beim Ableiten eines solchen Wurzelterms benötigt ergibt sich eben, dass am Ende die Ableitung der inneren Funktion, also des Terms unter der Wurzel, im Zähler stehen wird (bzw als Faktor).

Somit kommt es beim Bestimmen der Extremstelle im Endeffekt nur auf den Term unter der Wurzel an.

Um das mal an einem nicht so komplizierten Beispiel auszutesten probiere diesen Gedanken doch mal bei der Funktion nachzuvollziehen.



Gruß Björn
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Joa, also verbal hat das der Mathespezialschüler oben auch schon auf den Punkt gebracht...also dass man auch schon direkt den Radikanten nehmen kann (Term unter der Wurzel).

Anders formuliert:
Werden die Extremstellen einer positiven Funktion f gesucht, so kann man diese alternativ auch von der Funktion g mit g(x)=(f(x))² bestimmen.
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