Beweis Integral von -a bis a bei punktsymmetrischen Funktionen gleich null

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Jujujuju Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Integral von -a bis a bei punktsymmetrischen Funktionen gleich null
Meine Frage:
Ich soll beweisen, dass das Integral von -a bis a bei jeder ganzrationalen, punktsymmetrischen (zum Ursprung) Funktion gleich null ist.

Meine Ideen:
Meine Idee ist erst mal das Integral als Stammfunktion zu schreiben, und dann mit dem Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechnung einzusetzen. Aber das ist noch lange kein Beweis, oder?






LaTeX-Tags ergänzt. Steffen
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Integral von -a bis a bei punktsymmetrischen Funktionen gleich null
Wie sieht denn die allgemeine Funktionsgleichung für ganzrationale punktsymmetrische Funktionen aus?

Viele Grüße
Steffen
Jujujuju Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Integral von -a bis a bei punktsymmetrischen Funktionen gleich null
Hmmh, das weiß ich schon nicht unglücklich . Aber auf jeden Fall sind nur ungerade Exponenten drin, richtig?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Integral von -a bis a bei punktsymmetrischen Funktionen gleich null
Ja, genau! Auf mathematisch:

Und was passiert nun damit beim Integrieren?
Jujujuju Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Integral von -a bis a bei punktsymmetrischen Funktionen gleich null
Das Ganze summiert sich auf? Also (-a)^ungerade Zahl bleibt negativ, hingegen a^Zahl ja positiv?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Integral von -a bis a bei punktsymmetrischen Funktionen gleich null
Das war jetzt etwas unklar.

Was ist denn zum Beispiel die Stammfunktion von ?
 
 
Jujujuju Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Integral von -a bis a bei punktsymmetrischen Funktionen gleich null
a/2 * x^2
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Integral von -a bis a bei punktsymmetrischen Funktionen gleich null
Richtig. Und für die anderen Summenglieder gilt ebenfalls, dass sich der Exponent um Eins erhöht. Die Exponenten von F(x) sind somit alle...

Was kann man dann über F(a) und F(-a) sagen?
Jujujuju Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Integral von -a bis a bei punktsymmetrischen Funktionen gleich null
Sind alle gerade?

Und somit ist F(-a) der Betrag von F(a) ?
Jujujuju Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Integral von -a bis a bei punktsymmetrischen Funktionen gleich null
Ich meine der Betrag von F(-a) ist gleich F(a)...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht nur der Betrag.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Eben. Was unterscheidet denn z.B. von ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Voraussetzung "ganzrational" ist für den Schluß darauf, daß das Integral 0 ist, nicht erforderlich. In der Schule würde ich für die Aussage einen anschaulichen Beweis an einer Zeichnung führen. Die Punktsymmetrie des Graphen und der Flächenstücke oberhalb und unterhalb des Graphen macht ja alles sofort klar.

Ein wenig formaler könnte man auch so argumentieren.

Im Integral ersetzt man durch und dafür das Intervall durch das Intervall . Dabei wird über dieselben Funktionswerte integriert, nur andersherum aufgetürmt:



Und damit folgert man:





Beim dritten Gleichheitszeichen wurde die Ungeradheit von verwendet.

Letztlich steckt natürlich die Substitutionsregel mit dahinter. Ich weiß allerdings nicht, ob diese Jujujuju bekannt ist.
Jujujuju Auf diesen Beitrag antworten »

Cool! Danke an Sie beide!!

Ich habe es endlich, endlich verstanden, denke ich smile .
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