Saubere Roboter

09.12.2020, 02:26

Dopap

Saubere Roboter

"100 Hühner im Kreis picken zufällig den Nachbarn " lässt sich im Kopf leicht beantworten, solange Gleichverteilung gemeint ist.
Habe mir erlaubt das etwas zu erweitern

12 identische japanische preiswerte human-ähnliche Roboter $\begin{eqnarray*} R_1,R_2,\cdots,R_{12} \end{eqnarray*}$ stehen in Testphase nebeneinander vor der Firmenmauer. Auf gemeinsamen Startbefehl soll jeder zufällig einen Buchstaben sprühen. Wegen Programmierfehler wird bei jedem zuerst das Zufallsdrehmodul D mit der Verteilung

$\begin{eqnarray*} D=\begin{cases} \text{Linksdrehung um }90° \,\text{mit} \, p(L)=0.3\\ \text{Rechtsdrehung um }90°\,\text{ mit} \, p(R)=0.4:\\ \text{keine Drehung} \, \text{mit} \, p(N)=0.3 \end{cases} \end{eqnarray*}$
aufgerufufen.

Wieviele Roboter bleiben im Durchschnitt sauber?

meine Ideen
Für die Roboter $\begin{eqnarray*} k=2\cdots 11 \end{eqnarray*}$ gelte das Ereignis : "Roboter bleibt sauber" und damit

die Indikatorvariable $\begin{eqnarray*} J_k= 1\, \text{mit}\, p((L\lor N)\land (R\lor N))= 0.6\cdot0.7= 0.42 \end{eqnarray*}$

für die Roboter am Rand $\begin{eqnarray*} J_1=1: p=0.6 \end{eqnarray*}$ respektive $\begin{eqnarray*} J_{12}=1: p=0.7 \end{eqnarray*}$

Der Erwartungswert einer Indikatorvariablen ist gleich der Wahrscheinlichkeit ist gleich der Wahrscheinlichkeit das er anzeigt.
Für Anzahl der unverschmutzen Roboter gilt somit $\begin{eqnarray*} E(S)= \sum_{k=1}^{12} E(J_k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(S)= 10\cdot 0.42 +0.6+0.7= 5.5 \end{eqnarray*}$

09.12.2020, 06:02

Leopold

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RE: saubere Roboter

Zitat:

Original von Dopap

Wieviele Roboter bleiben im Durchschnitt sauber?

Alle, vorausgesetzt, auch in Japan gilt das Abstandsgebot von 1,50 m.

09.12.2020, 08:12

HAL 9000

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Fein gerechnet. Und nun bitte noch die Varianz $\begin{eqnarray*} V(S) \end{eqnarray*}$ ! Freude

09.12.2020, 15:57

Dopap

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Ich werde versuchen,diese Fleiß-Aufgabe zu lösen .

09.12.2020, 17:07

HAL 9000

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Da geht es ja im wesentlichen um die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} E\left(J_kJ_l\right) \end{eqnarray*}$ für die diversen Kombinationen $\begin{eqnarray*} k,l \end{eqnarray*}$ . Das ist nicht nur Fleiß - mit ein paar Vorüberlegungen ist das gar nicht so lang (wenn auch zugegeben deutlich länger als für den Erwartungswert).

10.12.2020, 14:42

Dopap

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bisher hatte ich notiert
eine explizite Wahrscheinlichkeitsfunktion von $\begin{eqnarray*} S \\,,\text{oder}\,\overline S=12 -S \end{eqnarray*}$ mit 13 Einträgen

$\begin{eqnarray*} \overline S:\begin{matrix} x & 0 & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12 \\\hline p(\overline S=x) & &&&&&&&&&&& \end{matrix} \end{eqnarray*}$

wäre indirekt eine Lösung.

$\begin{eqnarray*} x=0 ---> p(x)= 0.6 \cdot 0.42^{10} \cdot 0.7= 0.0072%\, \checkmark \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \color{red} edit:\quad 0.6\cdot 0.3^{10}\cdot 0,7= 0.000\,002\,48 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1\,\, und\,\,( Robot\,\, an \ Pos\, 1) ---> p(x)= 0.6\cdot 0.3\cdot 0.3^9\cdot 0.7 +\\ (Robot\, an \,Pos 2) + 0.6\cdot 0.3\cdot 0.3^10 \cdot 0.7 +\\ + 0.6\cdot 0.3\cdot 0.3^8 \cdot 0.7 + 0.6 \cdot 0.3\cdot 0.3\cdot 0.3^7\cdot 0.7\\+ (Robot\, an\, Pos 3) + + + + ... \end{eqnarray*}$

x=2 jetzt auch noch zusätzlich mit Kombinationen von Positionen --- > so geht' nicht Baum zu groß.

Gut, dann wenigstens eine Näherung mit 12 Robotern im Kreis:
$\begin{eqnarray*} Var(S) \approx np(1-p)=12\cdot 0.42\cdot 0.58 \approx 2.9 \end{eqnarray*}$ ?

btw: Mit Fleiß-Aufgabe ist im Schulbereich mehr so eine Sternchen, Bonus, Streber Aufgabe gemeint.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} E(J_kJ_l) \end{eqnarray*}$ richtig lese dann ist damit der Erwartungswert des Indikators gemeint mit
$\begin{eqnarray*} 1: p(\text{Schnittmenge der positiven Ereignisse}) \end{eqnarray*}$

die Menge der $\begin{eqnarray*} \binom {12}{2}=66 \end{eqnarray*}$ Kombinationen müssten sich in einige disjunkte Teile
zerlegen lassen z.B. $\begin{eqnarray*} \{R_k,R_{k+1}\} \quad k=2,\cdots 10 \end{eqnarray*}$ (= benachbarte Robots ohne Robots am Rand) etc.

Inwiefern kann das Ausgangspunkt für $\begin{eqnarray*} V(S) \end{eqnarray*}$ sein ?

10.12.2020, 15:22

HAL 9000

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Ich hatte nicht an die gesamte Verteilung von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ gedacht, das ist ohne rechentechnische Unterstützung glatter Selbstmord. Nein, einfach geradeheraus

$\begin{eqnarray*} V(S) = E(S^2)-(E(S))^2 = \sum_{k=1}^{12} \sum_{l=1}^{12} \left( E(J_kJ_l)-E(J_k)E(J_l)\right) \end{eqnarray*}$ . (*)

Nun kann man diese Doppelsumme schon mal erheblich straffen: Für $\begin{eqnarray*} |k-l|=1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |k-l|\geq 3 \end{eqnarray*}$ sind die beiden Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} J_k,J_l \end{eqnarray*}$ voneinander unabhängig, denn es gibt keine Einzelroboteraktion, die auf die Sauberkeit BEIDER Roboter $\begin{eqnarray*} R_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_l \end{eqnarray*}$ zugleich Einfluss hat. Für diese $\begin{eqnarray*} k,l \end{eqnarray*}$ ist dieser Unabhängigkeit wegen somit $\begin{eqnarray*} E(J_kJ_l)=E(J_k)E(J_l) \end{eqnarray*}$ , diese Summanden in (*) fallen daher weg.

Bleiben noch die Indizes $\begin{eqnarray*} k=l \end{eqnarray*}$ sowie die mit $\begin{eqnarray*} |k-l|=2 \end{eqnarray*}$ übrig, der Symmetrie wegen folgt

$\begin{eqnarray*} V(S) = \sum_{k=1}^{12} \left( E(J_k^2)-(E(J_k))^2\right) + 2\sum_{k=1}^{10} \left( E(J_kJ_{k+2})-E(J_k)E(J_{k+2})\right) \end{eqnarray*}$ . (**)

Jetzt muss man sich durchkämpfen: Wegen $\begin{eqnarray*} J_k^2 = J_k \end{eqnarray*}$ folgt für die erste Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{12} E(J_k)\left(1-E(J_k)\right) = 0.6\cdot 0.4 + 10\cdot 0.42\cdot 0.58 + 0.7\cdot 0.3 = 2.886 \end{eqnarray*}$ .

Bei der zweiten Summe hat man die Teilbestandteile

$\begin{eqnarray*} E(J_1J_3) = 0.3\cdot 0.6 = 0.18 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ darf keine Drehung haben und $\begin{eqnarray*} R_4 \end{eqnarray*}$ keine nach rechts .

$\begin{eqnarray*} E(J_{10}J_{12}) = 0.3\cdot 0.7 = 0.21 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} R_{11} \end{eqnarray*}$ darf keine Drehung haben und $\begin{eqnarray*} R_9 \end{eqnarray*}$ keine nach links .

Für $\begin{eqnarray*} 2\leq k\leq 9 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} E(J_kJ_{k+2}) = 0.3\cdot 0.6\cdot 0.7 = 0.126 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} R_{k+1} \end{eqnarray*}$ darf keine Drehung haben, $\begin{eqnarray*} R_{k-1} \end{eqnarray*}$ keine nach links und $\begin{eqnarray*} R_{k+3} \end{eqnarray*}$ keine nach rechts .

Macht summa summarum

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{10} \left( E(J_kJ_{k+2})-E(J_k)E(J_{k+2})\right) = 0.18-0.6\cdot 0.42 + 8\cdot \left(0.126-0.42^2\right) + 0.21 - 0.7\cdot 0.42 = -0.5592 \end{eqnarray*}$ .

Den ganzen Kladderadatsch in (**) eingesetzt kommt man zum Ziel: $\begin{eqnarray*} V(S) = 2.886 - 2\cdot 0.5592 = {\color{red}1.7676} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Wer einen Fehler in den obigen Ausführungen und Rechnungen findet, darf ihn nicht behalten, sondern sollte ihn hier aufzeigen und korrigieren. Augenzwinkern

11.12.2020, 10:59

HAL 9000

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Hab mir mal überlegt, wie man das rekursiv "auf die Reihe" kriegen kann:

Sei $\begin{eqnarray*} p_n(s,j,r) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheínlichkeit für folgenden Zustand
- unter den ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Robotern sind aufgrund der Aktionen dieser ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Roboter genau $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ sauber,
- der n-te Roboter ist sauber (j=1) bzw. verschmutzt (j=0)
- der n-te Roboter dreht sich nach hinten (r=0), gar nicht (r=1) oder nach vorn (r=2)

Dann ist $\begin{eqnarray*} P(S_n=s) = \sum_{j=0}^1 \sum_{r=0}^2 p_n(s,j,r) \end{eqnarray*}$ .

Zu beachten ist bei dieser rekursiven Betrachtung, dass durch die sukzessive Hinzunahme weiterer Roboter der letzte in der alten Reihe ggfs. noch von sauber zu verschmutzt wechseln kann, d.h., die Anzahl sauberer Roboter beim Übergang $\begin{eqnarray*} (n-1)\to n \end{eqnarray*}$ sogar sinken kann.

Unter Annahme einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung $\begin{eqnarray*} \left(q_r\right)_{r=0,1,2} \end{eqnarray*}$ für die Roboterdrehungen (bei Dopap $\begin{eqnarray*} q_0=0.3,q_1=0.3,q_2=0.4 \end{eqnarray*}$ ) bekommt man folgende Iterationsgleichungen:

$\begin{eqnarray*} p_n(s,0,0) = \left(p_{n-1}(s,0,2)+p_{n-1}(s+1,1,2)\right)q_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_n(s,0,r) = \left(p_{n-1}(s,0,2)+p_{n-1}(s,1,2)\right)q_r \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r=1,2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_n(s,1,0) = \left(p_{n-1}(s-1,0,0)+p_{n-1}(s-1,0,1)+p_{n-1}(s,1,0)+p_{n-1}(s,1,1)\right)q_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_n(s,1,r) = \left(p_{n-1}(s-1,0,0)+p_{n-1}(s-1,0,1)+p_{n-1}(s-1,1,0)+p_{n-1}(s-1,1,1)\right)q_r \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r=1,2 \end{eqnarray*}$

Startwerte sind $\begin{eqnarray*} p_1(1,1,r) = q_r \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r=0,1,2 \end{eqnarray*}$ ; für alle anderen $\begin{eqnarray*} s,j,r \end{eqnarray*}$ ist hingegen $\begin{eqnarray*} p_1(s,j,r) = 0 \end{eqnarray*}$ . Ach ja, und zur Vermeidung unnötiger Rumrechnerei innerhalb der Rekursion sind auch noch die Rand- und Abbruchwerte $\begin{eqnarray*} p_n(s,j,r)=0 \end{eqnarray*}$ sowohl für $\begin{eqnarray*} s<0 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} s>n \end{eqnarray*}$ hilfreich.

Damit den PC gefüttert bekommt man für $\begin{eqnarray*} n=12 \end{eqnarray*}$ den Verteilungsvektor:

$\begin{eqnarray*} \left(P(S_{12}=s)\right)_{s=0,\ldots,12} = \begin{pmatrix} 0.000002985984\\ 0.000324056818\\ 0.007072095006\\ 0.050773795326\\ 0.166583390562\\ 0.283622502132\\ 0.272045779308\\ 0.154148831676\\ 0.052936623684\\ 0.011039656698\\ 0.001357693974\\ 0.000090108774\\ 0.000002480058 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

11.12.2020, 13:27

Dopap

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Anscheinend habe ich da mit der Variation der Hühneraufgabe für
Erwartungswert, Varianz und Verteilung, und in dieser Reihenfolge, etwas relativ Anspruchsvolles ausgedacht.

Interessant, dass auch die Varianz ohne Kenntnis der Verteilung berechenbar ist, wobei auch hier der Einsatz von Indikatoren gut brauchbar ist.

Die vorgestellte Varianzberechnung ist dank der guten Darstellung im Wesentlichen verstanden.
Die Berechnung der Verteilung, rekursiv und mit Programm sieht echt stark aus.

Aller- allerspätestens jetzt könnte der Thread aber nach Hochschule verschoben werden. Augenzwinkern

11.12.2020, 15:15

HAL 9000

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Ich hatte erst dran gedacht, zwecks Verteilungsberechnung per Bruteforce alle $\begin{eqnarray*} 3^{12} \end{eqnarray*}$ Drehvarianten der 12 Roboter durchzurechnen, wäre auch im Sekundenbruchteil gegangen. Aber dann habe ich gedacht "wenn jetzt Dopap die Roboterzahl auf 100 erhöht, siehst du damit ganz schön alt aus", daher die rekursive Variante, die mit Aufwand $\begin{eqnarray*} O\left(n^2\right) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} O\left(3^n\right) \end{eqnarray*}$ aufwartet. smile

11.12.2020, 21:56

Dopap

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die Sorge ist unbegründet, habe nicht vor einen weiteren "echten Dopap"
zu produzieren/riskieren. Augenzwinkern

12.12.2020, 13:42

HAL 9000

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Ich finde, es ist ein schönes Beispiel dafür, wie sich ein Problem rekursiv erschließen lässt, indem man den Zustandsraum erweitert:

Denn an sich ist man hier ja nur an $\begin{eqnarray*} P(S_n=s) \end{eqnarray*}$ interessiert, d.h., die "Zustandserweiterung" um $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist tatsächlich nur dem Umstand geschuldet, dass erst diese Erweiterung die Aufstellung der entsprechenden Iterationsgleichungen ermöglicht - ohne diese Erweiterung hat man schlicht zu wenig Information für den Übergang $\begin{eqnarray*} (n-1)\to n \end{eqnarray*}$ .

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