Primzahlen und Ideale in Ringen

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Primzahlen und Ideale in Ringen
Meine Frage:
Es sei R = Z[x]. Offenbar ist fur jedes ¨ a ? Z (x, a) := R · x + R · a ein Ideal in R,
das von den Elementen x und a erzeugte Ideal. Man zeige:
a) Fur jede Primzahl ¨ p ist das Ideal (x, p) ein maximales Ideal von Z[x].
b) Fur jede Primzahl ¨ p ist das Ideal (x, p) kein Hauptideal von Z[x].


Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich zu a) irgendwie zeigen muss, dass (x,p) \subset \neq I ist, also quasi "eine obere Schranke hat" und dass diese schon gleich Z[x] ist, nur leider nicht wie.
Bei b) sollen wir die Absolutglieder irgendeiner Summe betrachten, ich sitze schon ein paar stunden an disen Aufgaben und komme aber nicht voran. Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

(x,p) \subset \neq I damit meine ich (x,p) ist echt enthalten in I, also dass I die Obermenge davon ist.

Willkommen im Matheboard!
Ich habe die beiden Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet.
Viele Grüße
Steffen
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RE: Primzahlen und Ideale in Ringen
(x,a) sind die Polynome, deren Absolutglied Vielfaches von a ist.
Zwei Ideen zur a), ob sie brauchbar sind, kann ich dir nicht sagen:
1. In einem echten Oberideal von (x,p) findet man ein Polynom, mit einem Absolutglied c, das kein Vielfaches von p ist. Also ist ggT(c,p)=1 und damit sollte man die 1 finden können.
2. ist wohl zumindest isomorph zu
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