Verständnisfrage Volumen / Fläche Hohlzylinder

09.12.2020, 18:52

trusty

Verständnisfrage Volumen / Fläche Hohlzylinder

Meine Frage:
Ich habe ein englischsprachiges Lehrbuch zur Wärme- und Stoffübertragung. Bei einer der Beispielaufgaben darin habe ich ein geometrisches Verständnisproblem. Leider ist die Aufgabenstellung etwas ungenau formuliert, das schafft zusätzliche Verwirrung.

Die relevanten Informationen im Aufgabentext sind

Zitat:

Consider a pipeline that is 1 m in diameter and has a wall thickness of 40 mm [...]

Es steht da also schon einmal nicht, welcher Durchmesser 1 m misst, aber offenbar gibt es einen Hohlzylinder mit einer Wanddicke von 40 mm. Für den Durchmesser wird der Buchstabe D verwendet, für die Wanddicke der Buchstabe L.

Eine Länge des Zylinders ist nicht gegeben, deswegen werden in späteren Aufgabenteilen übertragene Energie etc. "per unit length", also in Einheiten der Form $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{Einheit}}{\mathrm{m}} \end{eqnarray*}$ berechnet. Und dabei wird dann plötzlich Folgendes benutzt:

Zitat:

with a volume per unit pipe length of $\begin{eqnarray*} V' = \pi D L \end{eqnarray*}$ : [...]

Das verstehe ich nicht. Was soll das sein? Die ersten zwei Faktoren bilden den Umfang, aber mit dem dritten bekomme ich doch nicht die Fläche!

Meine Ideen:
Ich würde für die Querschnittsfläche von Hohlzylindern grundsätzlich so rechnen:

A = $\begin{eqnarray*} \pi \left( r_{\mathrm{außen}}^2 - r_{\mathrm{innen}}^2 \right) \end{eqnarray*}$

Ich sehe nicht, wie die andere Formel auch nur eine vernünftige Approximation sein sollte. Kann mir da jemand helfen?

09.12.2020, 21:23

mYthos

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Die Differenz der Quadrate lässt sich nach einer binomischen Formel zerlegen:

$\begin{eqnarray*} A = \pi(R^2 - r^2) = \pi (R+r)(R-r) \end{eqnarray*}$ ; Kreisring: A .. Fläche, R .. äußerer Radius, r .. innerer Radius

R - r = d .. Wanddicke

Daher ist $\begin{eqnarray*} A = \pi d (R + r) \end{eqnarray*}$

Das ist eine grundlegende Beziehung, die im Kreisring gilt.

mY+

10.12.2020, 13:57

trusty

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Danke für die Erläuterung. Ich verstehe es allerdings so, dass in der Musterlösung nicht diese Formel verwendet wird. Vergleich:

$\begin{eqnarray*} A = \pi D L \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = \pi (R + r) L \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, ob D nun der innere oder der äußere Durchmesser sein soll, aber eine Verwendung von $\begin{eqnarray*} D = R + r \end{eqnarray*}$ ohne weitere Erläuterung halte ich nicht für wahrscheinlich.

Was mir jedoch inzwischen aufgefallen ist: Vielleicht wird hier der Rohrquerschnitt wegen der geringen Wandstärke als Rechteck der Kantenlängen $\begin{eqnarray*} \pi D \end{eqnarray*}$ und L approximiert. Ist das eine gängige Methode? Der Fehler beträgt in diesem Fall 4 %.

10.12.2020, 14:20

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Zitat:

Original von trusty
eine Verwendung von $\begin{eqnarray*} D = R + r \end{eqnarray*}$ ohne weitere Erläuterung halte ich nicht für wahrscheinlich.

Ich finde das gar nicht so abwegig. D ist in diesem Fall eben der mittlere Durchmesser bzw. der doppelte mittlere Radius: $\begin{eqnarray*} D=2 \cdot \frac {R+r}2=R+r \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

10.12.2020, 15:10

mYthos

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Zitat:

Original von trusty
...
Was mir jedoch inzwischen aufgefallen ist: Vielleicht wird hier der Rohrquerschnitt wegen der geringen Wandstärke als Rechteck der Kantenlängen $\begin{eqnarray*} \pi D \end{eqnarray*}$ und L approximiert. Ist das eine gängige Methode? Der Fehler beträgt in diesem Fall 4 %.

Nein, sicher so nicht.
Es ist so, wie Steffen bereits gesagt hat, der mittlere Durchmesser ist R + r.
Den mittleren Radius kann man auch als r + (R - r)/2 = (R + r)/2 (innerer Radius plus halbe Wanddicke) berechnen.

mY+

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