Weg/-Zusammenhangskomponente (Topologie)

09.12.2020, 19:43	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Weg/-Zusammenhangskomponente (Topologie) Guten Abend ich hab ne Frage zu folgender Aufgabe: Der Unterraum $\begin{eqnarray} Z=A\cup B \end{eqnarray}$ der Ebene $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ werde als Vereinigung definiert durch: $\begin{eqnarray} A_{n}:=\left\{ \left(x,y\right)\in \mathbb R^2 : 0 \leq x\leq 1,y=\frac{x}{n} \right\} \forall n \in \mathbb N<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B:= \left\{ \left(x,0\right) \in \mathbb R^2 : \frac{1}{2} \leq x\leq 1 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A:=\bigcup_{n\in\mathbb N}A_{n} \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie die Wegzusammenhangskomponenten und die Zusammenhangskomponenten von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ . Als erstes habe ich die Definitionen aus Der Vorlesung rausgesucht: Zusammenhangskomponente: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ topologischer Raum und $\begin{eqnarray} p \in X \end{eqnarray}$ . Unter allen zusammenhängenden Unterräumen $\begin{eqnarray} U \subset X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p \in U \end{eqnarray}$ gibt es einen größten und dieser ist abgeschlossen. Für $\begin{eqnarray} p \in X \end{eqnarray}$ heißt diese abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray} Z(p) \end{eqnarray}$ die Zusammenhangskomponente. Wgzusammenhangskomponente: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein top. Raum , dann heißt die Menge aller Punkte, die mit $\begin{eqnarray} p \in X \end{eqnarray}$ verbindbar sind, die Wegzusammenhangskomponente und wird mit $\begin{eqnarray} [p] \end{eqnarray}$ bezeichnet. $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ zerfält disjunkt in seine Wegzusammenhangskomponenten. Meine Ideen: Also ich weiß erstmal wie die Menge Z Aussieht: Das ist die Vereinigung aller Ursprungsgeraden die rechts von der Winkelhalbierenden liegen, dessen Steigung sich immer mehr der Null annähern, aber nie 0 wird(berührt somit nicht die x-Achse außer im nullpunkt) (im Intervall $\begin{eqnarray} x\in [0,1] \end{eqnarray}$ und Eines Teilstückes einer Geraden die auf $\begin{eqnarray} x\in [0.5,1] \end{eqnarray}$ Null ist (Also auf der X-Achse verläuft). (Ist aber keine Fläche (da $\begin{eqnarray} n \in N \end{eqnarray}$ ) Hoffe ihr versteht was ich meine... Als erstes würde ich sagen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sind nicht zusammenhängend weil sie keine gemeinsamen Punkte haben. Also in $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ lassen sich alle punkte auf den Geraden mit der 0 verbinden , da sie diesen punkt gemeinsam haben also wäre eine wegzsammenhangskomponente von $\begin{eqnarray} A_{n} \end{eqnarray}$ die 0. Aber dies ist ja nich von Z... Auf B lassen sich alle Punkte untereinander verbinden, also wäre die Wegzusammenhangskomponente die Vereinigung aller Punkte, bin ich auf dem Richtigen weg oder totel auf dem Holzweg??? hoffe ihr könnt mir helfen. Lg Susanno95
10.12.2020, 23:32	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir keiner helfen oder sagen ob das was ich gemacht hab bis jetzt richtig ist? LG Susanno95 Und danke im Vorraus
11.12.2020, 02:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Weg/-Zusammenhangskomponente (Topologie) Alles richtig soweit (mit der kanonischen Topologie!). Bei der Argumentation müsstest du aber vorsichtiger sein. So haben $\begin{eqnarray} I=[0,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} J=[1.2) \end{eqnarray}$ keine gemeinsamen Punkte, aber $\begin{eqnarray} I \cup J \end{eqnarray}$ ist wegzusammenhängend. Interessant wird die Aufgabe wenn es nicht mehr um die geometrische Struktur der Menge geht (gibt es "Schnittpunkte"), sondern was sind die "größten" abgeschlossenen Mengen in $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ .
11.12.2020, 17:07	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich fasse mal zusammen, also Die Einzelnen $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist die wegzusammenhangskomponente [0] da für $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ x/n ist als Polynom ein stetiger Weg der für $\begin{eqnarray} x \in [0,1] \end{eqnarray}$ also wegzusammenhängend für jedes einzelne $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ . Bei B ist jedes x eine Zusammenhangskomponente da sich dort jeder Punkt stetig verbinden lässt durch weg t, $\begin{eqnarray} t \in [0.5,1] \end{eqnarray}$ Aber ich würde jetzt sagen das Z keine wegzusammenhangskomponente hat.... Weil kein Punkt gemeinsam in A und B gemeinsam hat... ? Aber wie sieht es mit der zusammenhangskomponente aus... :/ kannst mir da vlt helfen? Also der größte Zusammenhangende unterraum... Sind $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ und B selber unnterräume... Vlt kannst mir ja helfen oder so...
11.12.2020, 19:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Komponente besteht nicht aus einzelnen Punkten, wenigstens in der Regel nicht. Eine Wegzusammenhangskomponente ist eine Menge, bei der man jeden Punkt von jedem anderen erreichen kann. Meines Wissens nach fordert man zusätzlich die Maximalheit. D.h. die Menge lässt sich nicht größer machen ohne Wegzusammenhang zu verlieren. D.h. einzelne Punkte sind natürlich wegzusammenhängende Mengen, aber im seltensten Fall tatsächlich Komponenten. Zur Argumentation zur Z siehe mein Beispiel. Dort hat I und J auch keinen Punkt gemeinsam. Das muss erst einmal bloss nichts heißen. Noch schöner $\begin{eqnarray} \mathbb R \setminus \mathbb Q\cup \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Jeder einzelne Punkt in $\begin{eqnarray} \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ sind die Wegzusammenhangskomponenten, die Vereinigung besitzt aber eine riesige Wegzusammenhangskomponente $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Komponenten werden nur größer, wenn man ihnen mehr Möglichkeiten größer zu werden. Interessant wäre zu überlegen, welche Mengen offen/abgeschlossen sind. Als Tipp: $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist offen, die andere nicht.

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