Produkt zweier Hausdorffräume ist Hausdorff

09.12.2020, 20:53	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt zweier Hausdorffräume ist Hausdorff Guten Abend, brauche eure kompetente Hilfe Ich soll in einer Aufgabe zeigen, dass das Produkt $\begin{eqnarray} X\times Y \end{eqnarray}$ zweier Hausdorffräume $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ wieder ein Hausdorffraum ist. Also als erstes die Definition aus der Vorlesung: Hausdorff: Zu $\begin{eqnarray} p \neq q \end{eqnarray}$ gibt es Umgebungen $\begin{eqnarray} U_p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U_{p}\cap U_{q}=\emptyset \end{eqnarray}$ . Wir haben auch noch geschrieben. Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ Hausdorffraum dann ist jeder Punkt $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ abgeschlossen.(ob das was hilft keine Ahnung). Meine Ideen: Da X Hausdorff ist gibt es für $\begin{eqnarray} a,b \in X \end{eqnarray}$ Umgebungen mit $\begin{eqnarray} U_a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U_{a}\cap U_{b}=\emptyset \end{eqnarray}$ . Da Y Hausdorff gibt es für $\begin{eqnarray} c,d \in X \end{eqnarray}$ Umgebungen mit $\begin{eqnarray} U_c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_d \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U_{c}\cap U_{d}=\emptyset \end{eqnarray}$ . Aber was nun ? Damit $\begin{eqnarray} X\times Y \end{eqnarray}$ hausdorff ist müssten ja dann für $\begin{eqnarray} (a,b) \in X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (c,d)\in Y \end{eqnarray}$ Umgebungen $\begin{eqnarray} U_{a,b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_{c,d} \end{eqnarray}$ existieren mit $\begin{eqnarray} U_{a,b}\cap U_{c,d}=\emptyset \end{eqnarray}$ . Fühle mich grad etwas dämlich,... Hoffe ihr könnt mir Ansätze geben oder mich schritt für schriitt anleiten Liebe Grüße Susanno95
10.12.2020, 23:30	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir keiner helfen oder Ansätze geben oder Tipps? LG Susanno95
11.12.2020, 00:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt zweier Hausdorffräume ist Hausdorff Noch hast du nicht benutzt wie die Topologie auf dem Produktraum definiert ist. Zweifelsohne ist dies die Kernverbindung zwischen der Hausdorffeigenschaft der Faktoren und des Produktes. Bei freier Wahl der Topologie wäre $\begin{eqnarray} X \times Y \end{eqnarray}$ sicher nicht Hausdorffsch machbar (z.B. triviale Topologie). D.h. du musst mithilfe dieser Topologie eine geeignete Auswahl der Mengen $\begin{eqnarray} U_{a,b} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} U_{c,d} \end{eqnarray}$ treffen, um die von dir richtig definierte Eigenschaft zeigen zu können.
11.12.2020, 18:11	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Produkttopologie ist ja die topologie mit den wenigsten offenen Mengen bezüglich der allen Projektion auf die Komponenten der Produkttopologie stetig sind... Aber was bringt mir das ? Also das heißt ja dann das X und Y in XxY stetig sind, dh die urbilder der offenen Mengen sind wieder offen. Und jetzt? :/
11.12.2020, 18:21	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hangel dich doch mal am Problem entlang. Du hast zwei verschiedene Punkte in $\begin{eqnarray} X\times Y \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (x_1,y_1)\neq (x_2,y_2) \end{eqnarray}$ . Nehmen wir mal an, $\begin{eqnarray} x_1\neq x_2 \end{eqnarray}$ . Aha, also zwei verschiedene Punkte in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Wie wird es jetzt wohl weiter gehen? Und danach wird es dann Zeit, Projektionen und Produkttopologie in Spiel zu bringen.

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