Dimension des Kerns

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GagaMata Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension des Kerns
Meine Frage:
Hallo liebe Helfer, ich habe ein paar formale Fragen, bezüglich der Dimension des Kerns:
Ich habe eine beliebige Matrix gegeben und die dazugehörige lineare Abbildung .
Nun habe ich folgende Fragen: Welche Auswirkungen haben die folgenden Veränderungen der Matrix A auf die Dimension des Kerns von ?
1. Multiplikation einer Zeile mit :
2. Vertauschung zweier Zeilen miteinander:
3. Ersetzen der i-ten Zeile durch i-te Zeile plus das -fachen der j-ten Zeile (also ~> ):
4. Multiplikation einer Zeile mit 0:
Es sind jeweils 3 Antwortmöglichkeiten gegeben:
- Dimension des Kerns bleibt gleich
- Dimension des Kerns kann sich erhöhen
- Dimension des Kerns kann sich verringern

Meine Ideen:
Zu 1) - 3) habe ich, dass sich dimKern() nicht verändert, da 1) - 3) Zeilenumformungen im Gauß-Algorithmus sind und diese den Kernraum nicht verändern.
Bei der 4) bin ich mir allerdings unschlüssig:
Man nehme an, ich multipliziere eine Zeile mit 0, dann entstehen in der Zeile ausschließlich Nullen und ich habe etwas der Form 0 0 .. 0 = 0. Also eine freie Variable mehr, daraus schließe ich, dass sich die Dimension des Kerns erhöhen kann.
MFG GagaMata
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension des Kerns
Deine Annahme ist richtig. Du kannst es ja mal an einer 2-dimensionalen Matrix ausprobieren. smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, der Vollständigkeit wegen sollte man vielleicht noch erwähnen, dass sich die Dimension des Kerns bei Multiplikation einer Zeile mit 0 nicht erhöht, wenn sie linear von den anderen Zeilen abhängt.
GagaMata Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Auf das selbst Ausprobieren hätte ich auch kommen können Augenzwinkern
Hab es dann durch ein Beispiel gesehen. Vielen Dank! smile
GagaMata Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis
Danke für den Hinweis. Ist ja irgendwie offensichtlich, aber im ersten Moment denkt man vielleicht nicht daran. Werde ich mir für die Zukunft merken!
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