Dimension des Kerns |
10.12.2020, 10:50 | GagaMata | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dimension des Kerns Hallo liebe Helfer, ich habe ein paar formale Fragen, bezüglich der Dimension des Kerns: Ich habe eine beliebige Matrix gegeben und die dazugehörige lineare Abbildung . Nun habe ich folgende Fragen: Welche Auswirkungen haben die folgenden Veränderungen der Matrix A auf die Dimension des Kerns von ? 1. Multiplikation einer Zeile mit : 2. Vertauschung zweier Zeilen miteinander: 3. Ersetzen der i-ten Zeile durch i-te Zeile plus das -fachen der j-ten Zeile (also ~> ): 4. Multiplikation einer Zeile mit 0: Es sind jeweils 3 Antwortmöglichkeiten gegeben: - Dimension des Kerns bleibt gleich - Dimension des Kerns kann sich erhöhen - Dimension des Kerns kann sich verringern Meine Ideen: Zu 1) - 3) habe ich, dass sich dimKern() nicht verändert, da 1) - 3) Zeilenumformungen im Gauß-Algorithmus sind und diese den Kernraum nicht verändern. Bei der 4) bin ich mir allerdings unschlüssig: Man nehme an, ich multipliziere eine Zeile mit 0, dann entstehen in der Zeile ausschließlich Nullen und ich habe etwas der Form 0 0 .. 0 = 0. Also eine freie Variable mehr, daraus schließe ich, dass sich die Dimension des Kerns erhöhen kann. MFG GagaMata |
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10.12.2020, 10:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Dimension des Kerns Deine Annahme ist richtig. Du kannst es ja mal an einer 2-dimensionalen Matrix ausprobieren. |
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10.12.2020, 11:01 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt, der Vollständigkeit wegen sollte man vielleicht noch erwähnen, dass sich die Dimension des Kerns bei Multiplikation einer Zeile mit 0 nicht erhöht, wenn sie linear von den anderen Zeilen abhängt. |
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10.12.2020, 11:02 | GagaMata | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Auf das selbst Ausprobieren hätte ich auch kommen können Hab es dann durch ein Beispiel gesehen. Vielen Dank! |
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10.12.2020, 11:09 | GagaMata | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Elvis Danke für den Hinweis. Ist ja irgendwie offensichtlich, aber im ersten Moment denkt man vielleicht nicht daran. Werde ich mir für die Zukunft merken! |
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