Eigenschaft nilpotent und Inverse

11.12.2020, 09:10

IchBinDurstig

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Eigenschaft nilpotent und Inverse

Meine Frage:
Hallo an Alle, ich habe eine Frage bezüglich zweier kleiner Aufgaben:
1) Die Basismatrizen $\begin{eqnarray*} E_{i,j}\in \mathbb K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ sind invertierbar, für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq i,j\leq n,i\neq j \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb K^{n\times m}, B\in \mathbb K^{m\times n} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} E_{n}-A\cdot B \end{eqnarray*}$ invertierbar => $\begin{eqnarray*} E_{m}-B\cdot A \end{eqnarray*}$ invertierbar

Meine Ideen:
Zur 1) Intuitiv ist mir das klar, denn wenn i ungleich j gilt, dann hat die Basismatrix an der Stelle (i,j) eine Eins und sonst Nullen und diese Eins steht nicht auf der Hauptdiagonalen. Folglich ist schon $\begin{eqnarray*} E_{i,j}^2 \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix, also ist die Basismatrix nilpotent.
Jedoch weiß ich nicht wie ich dies formal beweisen soll wegen dem für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq i,j\leq n,i\neq j \end{eqnarray*}$ . Oder reicht der kleine Text oben schon? Ein Ansatz zur Beweisführung wäre sehr hilfreich.

Zur 2) Hier bin ich ratlos. Habe schon versucht mit stumpfen ausmultiplizieren, oder gleichsetzen, oder ... etc. Komme aber auf kein gewünschtes Ergebnis. Ich denke wie immer, dass ein Trick von nöten ist. Ein Ansatz wäre auch hier hilfreich.
Was ich natürlich weiß: $\begin{eqnarray*} E_{n}-A\cdot B \end{eqnarray*}$ invertierbar, wenn $\begin{eqnarray*} \exists X\in \mathbb K^{n\times n} : \left(E_n-A\cdot B\right)\cdot X = E_n \end{eqnarray*}$ wobei X aus n x n ist, da das Produkt von A*B in n x n ist und E_n logischerweise n x n Einheitsmatrix.

Würde mich über jeden Hilfe freuen!

11.12.2020, 11:25

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RE: Eigenschaft nilpotent und Inverse
1) Mir ist nicht klar, was eine Basismatrix ist.
2) Schau dir den Kern von $\begin{eqnarray*} E_m-BA \end{eqnarray*}$ an

11.12.2020, 11:43

IchBinDurstig

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1) Eine Basismatrix ist eine Matrix $\begin{eqnarray*} E_{i,j}\in \mathbb K^{m\times n} \end{eqnarray*}$ , welche genau an der Stelle (i,j) eine 1 stehen hat und sonst nur 0 als Eintrag hat (i entspricht Zeilen, j entspricht Spalten)

2) Etwa die Aussage: Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihr Kern der Nullraum ist
Denn $\begin{eqnarray*} E_{m}-B\cdot A \end{eqnarray*}$ ist eine quadratische m x m Matrix, da E_m die Einheitsmatrix m x m ist und das Produkt aus B*A eine m x m Matrix ist, also auch das Gesamte eine m x m Matrix ist.
Nur wie bestimme ich den Kern, bzw. weise nach, dass der Kern nur der Nullraum ist?

11.12.2020, 11:58

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1) Eine solche Matrix ist nie invertierbar. Für n>1 enthält sie mindestens eine Nullzeile, für n=1 ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ nicht erfüllbar.
2) Man fängt an wie immer $\begin{eqnarray*} (E_m-BA)y=0 \end{eqnarray*}$ . Hier wendet man darauf A an.

11.12.2020, 12:10

IchBinDurstig

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Zur 1) Ich sehe natürlich jetzt erst, dass ich in der Aufgabenstellung invertierbar geschrieben haben. Dort sollte allerdings nilpotent stehen. Beziehe mich in meinen Ansätzen zur 1) ja auch nur auf Nilpotenz.
Wenn i ungleich j ist, dann gilt das und anschaulich ist es auch klar, nur einen Beweis aufschreiben fällt mir schwer.

Zur 2)
Ich habe also $\begin{eqnarray*} \left(E_{m} -B\cdot A \right)\cdot Y = 0 \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} Y-B\cdot A\cdot Y = 0 \end{eqnarray*}$ Was bedeutet es A anzuwenden. Den Begriff hatten wir noch nicht unglücklich

unglücklich

11.12.2020, 12:14

IchBinDurstig

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y sollen klein sein. Keine Ahnung wie die groß geraten sind...

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11.12.2020, 12:38

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1) du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} E_{ij}^2=0 \end{eqnarray*}$ ist. Dann würde ich mir überlegen, wie das Bild der Matrix $\begin{eqnarray*} E_{ij} \end{eqnarray*}$ aussieht und was passiert, wenn man auf dieses Bild nochmal $\begin{eqnarray*} E_{ij} \end{eqnarray*}$ anwendet.
2) Gemeint ist, die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0=(E_m-BA) \end{eqnarray*}$ mit der Matrix A zu multiplizieren.

11.12.2020, 13:19

IchBinDurstig

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Zu 1): Das Bild besteht ja nur aus einem Vektor, nämlich der Spalte wo die einzige Eins steht. Dementsprechen gilt: dimBild = 1. Wenn ich jetzt nochmal die Basismatrix anwende, dann bekomme ich dimBild = 0 => Nullmatrix

Zu 2): $\begin{eqnarray*} \left(E_m-B\cdot A\right) = 0 \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} \left(E_m-B\cdot A\right)\cdot A = 0 \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} y\cdot A-B\cdot A^2\cdot y = 0 \end{eqnarray*}$ . Nur wie hilft mir das weiter? Muss ja irgendwo die Eigenschaft anwenden, dass E_n-A*B invertierbar ist. Allerdings steht in meiner Gleichung ja nur E_m und nicht E_n.

11.12.2020, 13:34

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2) du hast die falsche Seite erwischt smile

smile

Betrachte $\begin{eqnarray*} 0=A(E_m-BA)y \end{eqnarray*}$

11.12.2020, 13:51

IchBinDurstig

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Zur 1): Ist das dann so richtig argumentiert?

Zur 2): $\begin{eqnarray*} 0 = A\cdot \left(E_m-B\cdot A\right)\cdot y \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} 0 = \left(A-A\cdot B\cdot A\right)\cdot y \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} 0 = A\cdot \left(E_n-A\cdot B\right)\cdot y \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} A\cdot y = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} E_n-A\cdot B \neq 0 \end{eqnarray*}$ => y = 0
Der finale Schritt wäre jetzt noch, warum ich mit y = 0 weiß, dass mein Kern nur der Nullraum ist.

11.12.2020, 14:08

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Zur 1): Grundsätzlich schon. Es ist die Frage, ob einem Korrektor das lapidare "dann bekomme ich dimBild = 0" reicht.
Mir wäre das zu wenig.

Zur 2):

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0 = A\cdot \left(E_n-A\cdot B\right)\cdot y \end{eqnarray*}$

Das kann doch schon aus Dimensionsgründen, außer für m=n, nicht stimmen unglücklich

unglücklich

Zitat:

=> $\begin{eqnarray*} A\cdot y = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} E_n-A\cdot B \neq 0 \end{eqnarray*}$ => y = 0

Diese Argumentation ist mir völlig schleierhaft. Wie begründest du das? verwirrt

verwirrt

Bei mir wäre $\begin{eqnarray*} 0=A(E_m-BA)y=Ay-ABAy=(E_n-AB)Ay \end{eqnarray*}$

11.12.2020, 14:12

IchBinDurstig

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Das y = 0 ist, bekomme ich doch daher, dass ich folgendes habe:
$\begin{eqnarray*} 0 = \left(E_m-B\cdot A\right)\cdot y \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} 0 = y-B\cdot A\cdot y \end{eqnarray*}$
Oder übersehe ich da etwas?

11.12.2020, 14:16

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Die Äquivalenz ist richtig, aber wieso folgt daraus y=0?

11.12.2020, 14:28

IchBinDurstig

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Nun ich habe am Ende der Rechnung ja $\begin{eqnarray*} 0 = \left(E_n-A\cdot B\right)\cdot Ay \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 0 = Ay \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} E_n-A\cdot B\neq 0 \end{eqnarray*}$ da invertierbar.
Also Habe ich 0 = Ay => 0 = A oder 0 = y.
Mit 0 = A bekomme ich bei $\begin{eqnarray*} 0 = y-B\cdot A\cdot y \end{eqnarray*}$ keine Gleichung
Mit 0 = y hingegen schon, denn für y = 0 gilt $\begin{eqnarray*} 0 = 0-B\cdot A\cdot 0 \end{eqnarray*}$
Oder darf ich nicht so einfach folgern?

11.12.2020, 14:37

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Die Folgerung 0 = Ay ist vollkommen richtig, die Begründung korrekt.
Aber das

Zitat:

=> 0 = A oder 0 = y.

ist leider kompletter Unsinn. Du multiplizierst hier eine Matrix mit einem Vektor. Da gibt es keine keinen Satz vom Nullprodukt wie bei den reellen Zahlen. Bei reellen Zahlen folgt aus xy=0 das x=0 oder y=0. Hier vergisst du das sofort wieder.

Die Begründung ist hier so: Wir haben angefangen mit $\begin{eqnarray*} (E_m-BA)y=0 \end{eqnarray*}$ und jetzt gezeigt, dass dann $\begin{eqnarray*} Ay=0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Diese beiden Ergebnisse muss man nur noch kombinieren, dann steht $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ da.

11.12.2020, 14:53

IchBinDurstig

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Oh ja dankeschön, dass ist man aus der Schule so einfach gewöhnt. Habe jz verstanden wie man drauf kommt. Eine letzte Frage hätte ich noch an Sie, bzgl. der 1) und der 2), dann nerve ich auch nicht weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

1) Sie sagen, als Korrekteur würde Ihnen das nicht genügen. Was sollte ich ihrer Meinung nach denn noch hinschreiben smile

smile

2) Also folger ich aus y = 0, das Kernraum von E_m-B*A = {0} ist und damit E_m-B*A inv. ist.

11.12.2020, 15:10

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1) Das Bild von $\begin{eqnarray*} E_{ij} \end{eqnarray*}$ ist der i-te kanonische Einheitsvektor, d.h. eine 1 an der i-ten Stelle, sonst Nullen.
Multipliziert man $\begin{eqnarray*} E_{ij} \end{eqnarray*}$ mit diesem Vektor, bekommt man die i-te Spalte von $\begin{eqnarray*} E_{ij} \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ ist das eine Spalte mit lauter Nullen. Also ist $\begin{eqnarray*} E_{ij}^2=0 \end{eqnarray*}$
2) Ja, so ist es.
falls du hier nochmal eine Frage stellst: Man duzt sich in diesem Forum. smile

smile

11.12.2020, 15:18

IchBinDurstig

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Alles klar, dann danke ihr dir smile

smile

Und für die Zukunft weiß ich dann Bescheid, die Hilfe war echt Klasse!

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