Rechtwinkliges Dreieck

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Conny2020 Auf diesen Beitrag antworten »
Rechtwinkliges Dreieck
Meine Frage:

Hallo Leute,
vielleicht kann mir jemand bei der Lösung der folgenden Aufgabe auf die Sprünge helfen und mir ein paar Tipps zur Lösung geben:


Im rechtwinkligen Dreieck ABC sei CH die Höhe auf die Hypothenuse.
Die Winkelhalbierenden der Winkel CAB und BCH schneiden einander im Punkt M. Die Winkelhalbierenden der Winkel CBA und ACH schneiden einander im Punkt N.
Man beweise, dass MN parallel zu AB ist.

Meine Ideen:
Ich habe leider (noch) keine eigenen Ansätze gefunden.
Ich wollte über die Ähnlichkeitssätze von zwei Dreiecken gehen, aber da kam ich leider auch nicht weiter.
Vielleicht kann mir hier einer einen Tipp geben, ich weiß auch gar nicht, wie man beweisen kann, das zwei Geraden bzw. Strecken parallel verlaufen.

Danke Conny
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]52265[/attach]

Denk einfach mal über die Strahlensatzfigur mit den Strahlen CP und CQ nach. Dabei sind sowie essentiell, beides ergibt sich durch einfache Winkelbetrachtungen im Zusammenhang mit den Winkelhalbierenden sowie auch aus dem rechten Winkel .
Gast (Silke) Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre es nicht auch möglich zu zeigen, das das Viereck QPMN ein Trapez ist?
Dann wäre doch das parallele Verlaufen der beiden Strecke QP und MN brwiesen, oder?

Ich habe allerdings keinen Plan, wie man das beweisen kann ...... smile

Vielleicht hat ja hier jemand eine Idee und möchte diese hier vorstellen.


Silke
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Bist Du auch Conny2020?

Die Idee mit dem Trapez bringt hier nichts, denn von einem Trapez kannst Du erst sprechen, nachdem Du bewiesen hast, dass NM parallel zu AB ist. Aber genau dieser Beweis ist ja die Aufgabe.

Geh doch einfach den Hinweisen, die HAL_9000 gegeben hat, nach. Von da an sind es nur wenige Schritte bis zur Lösung.

Warum ist der Strahl [AM senkrecht zu CP?

"Ähnliche Dreiecke" ist dabei ein gutes Stichwort.
Gast (Silke) Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Gualtiero,

danke für die Antwort, nein ich bin nicht Conny, ich bin die Silke! :-)

Das mit dem Trapez war auch nur so eine Idee, aber welche ähnlichen Dreiecke meinst du?


VG Silke
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Silke, viele wechseln beim zweiten Einloggen ihren Nickname, daher wusste ich nicht, wer wer ist. Egal.
Ich spring hier kurz für HAL_9000 ein, weil er zZt nicht ONLINE ist.

Betrachte die beiden farblich markierten Dreiecke.

[attach]52275[/attach]
 
 
Gast (Silke) Auf diesen Beitrag antworten »

Ja danke, kein Problem, aber ausser dem gemeinsamen rechten Winkel bei H und der gemeinsamen Dreiecksseite CH kann ich kein gemeinsames Detail finden, was übersehe ich ?

Silke
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte Deine Aufmerksamkeit auch noch auf das große Dreieck lenken sollen.

Nimm zuerst das linke, kleinere Dreieck AHC. Es hat den Winkel in A, und einen rechten Winkel in H. Daher ist der dritte Winkel in C gemäß dem Winkelsummensatz im Dreieck: .

Dieser Winkel sitzt auch im Punkt B. Verständlich?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechtwinkliges Dreieck
Zitat:
Original von Conny2020

Vielleicht kann mir hier einer einen Tipp geben, ich weiß auch gar nicht, wie man beweisen kann, dass zwei Geraden bzw. Strecken parallel verlaufen.



Indem man z.B. zeigt, dass zwei Punkte den gleichen Lotabstand von einer Gerade/Strecke haben.
Gast (Silke) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechtwinkliges Dreieck
Danke für die Antwort,

jetzt habe ich erkannt, dass sich die rechtwinkligen Dreiecke ABC, AHC und sogar BHC ähnlich sind,
Das hatte ich vorher so nicht bemerkt. Deshalb stehen nun auch die entsprechenden Dreiecksseiten dieser Dreiecke im gleichen Verhältnis.

Aber wie bekomme ich diese Tatsache mit dem Hinweis von HAL zusammen (Strahlensatzfigur) bzw. mit deiner Aussage das AM parallel zu CD ist.


Silke
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das mit den ähnlichen Dreiecken hast Du alles richtig erkannt.

Zur Strahlensatzfigur etwas später.

Das
Zitat:
. . . bzw. mit deiner Aussage das AM parallel zu CD ist.

musst Du falsch verstanden haben. Ich meinte, dass AM rechtwinklich zu DP ist.

Es ist leicht zu sehen, dass das linke, kleinere Dreieck genau um 90° nach links gegenüber dem rechten verdreht ist.
Was kannst Du daraus für AM und DP folgern?
Gast (Silke) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gualtiero

[QUOTE]
musst Du falsch verstanden haben. Ich meinte, dass AM rechtwinklich zu DP ist.


Ja sorry, das meinte ich natürlich auch. Ich hatte mich nur verschrieben, es sollte rechtwinklig, nicht parallel heißen ...

Zitat:

Es ist leicht zu sehen, dass das linke, kleinere Dreieck genau um 90° nach links gegenüber dem rechten verdreht ist.


Die 90° Drehung nach links erkenne ich natürlich.

Zitat:

Was kannst Du daraus für AM und DP folgern?


Du meinst sicherlich CP und nicht DP, oder?
Eigentlich kann ich nur erkennen, das AB = AH + HB ist.

Achso, ja und das natürlich die Winkelhalbierende in A auch um 90° nach links verdreht ist und damit senkrecht auf der Winkelhalbierende in C steht, oder?

Ich weiß aber nicht, wie ich das mthematich richtig ausdrücken kann.

Silke
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, CP und nicht! DP meinte ich. Sorry!

Zitat:
Original von Gast (Silke)

Achso, ja und das natürlich die Winkelhalbierende in A auch um 90° nach links verdreht ist und damit senkrecht auf der Winkelhalbierende in C steht, oder?


Richtig erkannt!
Das gilt natürlich auch für die beiden anderen sich schneidenden Winkelhalbierenden.
Das ist ganz wichtig, denn nun hast Du sozusagen die "Bausteine" für ein gleichschenkliges Dreieck in der Hand.

Betrachte einmal in dieser Hinsicht das Dreieck APC. Ist es gleichschenklig?
Gast (Silke) Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die beiden Dreiecksseiten AP und AC sind gleich lang, aber warum ist das so?

Das kann doch nicht an der 90° Drehung nach links liegen, oder?

Doch wohl ehr am Verhältnis bestimmter Dreiecksseiten?

Silke
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Stell Dir ein gleichschenkliges Dreieck vor, z. B. mit Basis AB und Spitze C.
Von C wird das Lot auf die Basis gefällt - fällt also mit zusammen -, der Lotfußpunkt teilt die Basis in zwei gleich lange Abschnitte, denn ein gleichschenkliges Dreieck ist ja bezüglich der Höhe auf die Basis spiegelsymmetrisch.

Genau diese Situation liegt auch hier vor. Die Winkelsymmetrale entspricht der Höhe auf die Basis, die beiden Seiten schließen in der Spitze mit ihr jeweils den gleichen Winkel ein.
Gast (Silke) Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich, jetzt so lässt sich das natürlich erklären ....

Silke
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du das soweit verstehst, hast Du es nicht mehr weit.
Das Gesagte gilt natürlich auch für das zweite gleichschenklige Dreieck BCQ.
Die Punkte N und M halbieren also die jeweilige Strecke, die von C ausgeht und auf der Strecke AB endet.
Jetzt kannst Du an die schon erwähnte Strahlensatzfigur denken.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast (Silke)
Ja die beiden Dreiecksseiten AP und AC sind gleich lang, aber warum ist das so?

Man kann das auch ganz bodenständig auf Dreieckskongruenz zurückführen:

Du hast dich nun über die Drehungen (oder sonstwie) von überzeugt, damit ist . Weiterhin wissen wir der Winkelhalbierenden wegen . Damit sind die Dreiecke und nach Kongruenzsatz WSW kongruent, denn Strecke gehört ja zu beiden Dreiecken. Gemäß dieser Kongruenz folgt dann , was das eigentliche Ziel dieser Überlegungen ist - analog dann auch .
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