Scharfunktion mit Logarithmus

11.12.2020, 20:44

Ccaro

Scharfunktion mit Logarithmus

Meine Frage:
fa(x)=x^2-a×ln(x) a>0|x>0

1) Gerade y=2 und Graph fa(x) schließen Fläche ein, bestimme näherungsweise den Parameter a, dass Fläche minimal wird, Lösung der minimalen Flächen näherungsweise angeben

Meine Ideen:
Schnittpunkt berechnen und dann weiß ich nicht weiter ...

11.12.2020, 21:57

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Den oder die Schnittpunkte lassen sich algebraisch NICHT bestimmen, da es sich in diesem Fall um eine transzedente Gleichung handelt!

mY+

11.12.2020, 23:44

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Logarithmusfunktion
In diesem Fall müßten die Schnittpunkte numerisch bestimmt werden. Das könnte also komplizierter werden.
[attach]52272[/attach]

11.12.2020, 23:47

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Hinweis für potentielle Helfer: Die Aufgabe wurde bereits in einem anderen Forum gestellt und dort teilweise beantwortet.

12.12.2020, 15:26

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 2 ist gleich dem Wert der Ableitung der Funktion an dieser Stelle! Diese kannst du 3 gleichsetzen und damit das dazugehörige a berechnen!

mY+

Das hatten wir schon im ersten - wegen des Doppelposts geschlossenen - Thread, und dies sollte hinreichend klar sein.

Was allerdings die minimale Fläche angeht, ist dabei für den in Betracht kommenden Wert des Parameters a infolge der transzedenten Gleichung keine exakte Berechnung möglich.
In der Angabe steht auch, dass der Parameter näherungsweise zu berechnen ist.

Eine graphische Untersuchung (hier mit GeoGebra, Schieberegler für a) zeigt eine minimale Fläche von 0.9272 E² bei a = 2.

[attach]52276[/attach]

mY+

14.12.2020, 21:13

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Logarithmusfunktion
Etwas unbefriedigend ist, daß wir außer der Verwendung von Geogebra nichts besseres angeboten haben. Vielleicht läßt sich hier die Leibniz-Regel für Parameterintegrale anwenden. Fangen wir mal mit

$\begin{eqnarray*} f(a,x)=x^2-a\ln x \end{eqnarray*}$ an.

Für die beiden Schnittpunkte mit $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ muß dann gelten:

$\begin{eqnarray*} 2=x_{1,2}^2-a\ln x_{1,2} \end{eqnarray*}$

Aufgelöst nach a ergibt das:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{x_{1,2}^2-2}{\ln x_{1,2}} \end{eqnarray*}$

Die Minimierungsaufgabe bedeutet also:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{\dd}{\dd a}\int\limits_{x_1(a)}^{x_2(a)} \! F(a,x) \, dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(a,x)=2-f(a,x)=2-x^2+a \ln x \end{eqnarray*}$

Leibnitzregel hierauf angewendet:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd a}\int\limits_{x_1(a)}^{x_2(a)} \! F(a,x) \, dx =\underbrace{F(a,x_2(a))}_{0}\frac{\dd x_2(a)}{\dd a}-\underbrace{F(a,x_1(a))}_{0}\frac{\dd x_1(a)}{\dd a}+ \int\limits_{x_1(a)}^{x_2(a)} \! \frac{\partial F}{\partial a} (a,x) \, dx \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial a} (a,x)=\ln x \end{eqnarray*}$ ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{\dd}{\dd a}\int\limits_{x_1(a)}^{x_2(a)} \! F(a,x) \, dx = \int\limits_{x_1(a)}^{x_2(a)} \! \ln x \, dx =\big[x \ln x - x\big]_{x_1}^{x_2}=x_2 \ln x_2-x_2-x_1 \ln x_1+x_1 \end{eqnarray*}$

Mit anderen Worten:

$\begin{eqnarray*} x_2 \ln x_2-x_2=x_1\ln x_1-x_1 \end{eqnarray*}$

Die Schnittpunkte x_1 und x_2 sind jeweils von a abhägig. Wie ich mit Geogebra nachgeprüft habe, ist diese Gleichung nur für dasjenige a erfüllt, für das das Integral minimal ist. Wie man daraus das a numerisch berechnet muß ich mir erst überlegen.

14.12.2020, 21:29

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

@Ulrich: Ich gebe zu bedenken, dass wir uns in der Schulabteilung befinden! Das versteht dort sowieso niemand.
Außerdem hat es Ccaro auch nicht mehr der Mühe wert gefunden, sich noch einmal dazu zu melden.

In so einem Fall der Unhöflichkeit bin ich für meinen Teil fertig. Wir sind weder Automaten noch Sklaven.
Und tschüss!

Ich werde daher den Thread - wegen des Doppelpost - schließen. Ich warte allerdings damit noch, falls du noch etwas dazu antworten willst.

mY+

20.12.2020, 13:49

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

* geschlossen *

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Scharfunktion mit Logarithmus

Verwandte Themen