Trigonometrie - Berechnung fehlender Variablen

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Cournott Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrie - Berechnung fehlender Variablen
Hallo liebe Community smile

Ich arbeite derzeit an der Berechnung einer inversen Kinematik eines Roboters und hänge bei der Trigonometrie.

Im Anhang befindet sich die Skizze des momentanen Standes.
Gegeben sind folgende Konstanten:
- l2, l3, l4
- D234
- (X,Z)

Bereits berechnete Variablen:
- l234, (z-l1), A4

Das Ziel des Ganzen:
- D2, D3, D4 bestimmen

Die Herausfordungen ist zurzeit das Berechnen von l23 und lx, sobald ich diese beiden Variablen ausdrücken kann, weiß ich wie ich den Rest berechnen muss.

Habt Ihr eventuell einen Tipp, wie ich zu den Variablen l23 und lx (in rot dargestellt) komme?
Falls etwas in der Skizze unklar ist, ergänze ich es gerne.

Vielen Dank im Voraus!
- Alex


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Physiker2020 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Alex,

ich bezeichne den Ursprung des Koordinatensystems mit dem Ortsvektor und deinen Punkt I234 mit sowie den von dir gesuchten Punkt I23 mit . Außerdem ist ein Punkt bekannt. Dabei entspricht die Koordinate der Koordinate .
Den Richtungsvektor bekommst du nun einfach durch den Satz des Pythagoras.

Nun würde ich über Winkelbeziehungen rechnen. Sind Dir die Winkel bekannt? Ich meine du musst es ja irgendwie gezeichnet haben...
Den Vektor (also Vektor zu I23) könntest du dann über den Kosinussatz ausrechnen... also wenn du die Öffnungswinkel des großen äußeren Dreiecks und der inneren kennst sollte das ein Kinderspiel sein...
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Je mehr Striche Du untersuchst, desto unübersichtlicher wird es. Gehen wir erst mal nur von den Koordinaten , den Armlängen und den Beugewinkeln aus, dann gilt:










Im Übrigen ist Dein Abstand .
Für Deinen Winkel brauchst Du den Cosinussatz.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich übernehme mal die Punktbezeichnungen von U.Ruhnau (laut Skizze ist dabei ) und die Winkelbezeichnungen aus der Originalskizze.

Laut Eröffnungsbeitrag sind nicht nur die Längen sowie der Zielpunkt bekannt, sondern auch noch Winkel . Damit kann man unmittelbar auf den vorletzten Gelenkpunkt zurückrechnen




und das ganze Problem reduziert sich auf einen einfacheren Roboterarm mit nur Gelenken im Punkt 1 und 2, mit dem man Punkt erreichen will. Zunächst liefert Pythagoras , und über den Kosinussatz bekommt man



Im selben Dreieck kommt man nun auch an Winkel , z.B. über Sinussatz, aber am sichersten (keine Mehrdeutigkeiten) auch wieder über Kosinussatz



Winkel bekommt man durch Polarkoordinatenberechnung des Punktes ; hier im ersten Quadranten wäre das einfach .

Der Rest sind einfache Winkelsummen bzw. -differenzen:





.

Zu beachten ist, dass es noch eine zweite Lösung gibt, wenn man in (**) stattdessen verwendet, d.h. das erste Zwischengelenk "nach oben" abgeknickt ist. Um dem Rechnung zu tragen muss man dann aber auch bei (*) rechnen.
Cournott Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

vielen Dank für eure Antworten!

Ich habe die Berechnung der Kinematik lösen können.

Besonders geholfen hat die Erklärung von HAL 9000 bzgl der 2. Konfiguration.

vG
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