Differenz von Normalverteilungen

12.12.2020, 11:03

MIT

Differenz von Normalverteilungen

Meine Frage:
Hallo

Ich habe 2 Normalverteilungen,die ich addiere

$\begin{eqnarray*} N_{x}(3;1)+N_{y}(4;3) =N_{z}(7;4) \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt wieder Nx will muss man doch die anderen beiden subtrahieren
Nz-Ny. Oder?

Da ist es aber offenbar so,dass man die Varianzen nicht subtrahiert sondern addiert

$\begin{eqnarray*} N_{x}(3;1)=N_{z}(7;4)-N_{y}(4;3)=N_{x}(3;7) \end{eqnarray*}$

Und damit kommt man nicht auf das richtige Ergebnis

Meine Ideen:
Kann ich mir nicht erklären

12.12.2020, 14:23

HAL 9000

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Die einfache Rechnung

$\begin{eqnarray*} \mathcal{N}\left(\mu_X,\sigma_X^2\right) + \mathcal{N}\left(\mu_Y,\sigma_Y^2\right) = \mathcal{N}\left(\mu_X+\mu_Y,\sigma_X^2+\sigma_Y^2\right) \end{eqnarray*}$

setzt Unabhängigkeit (!) der beiden Ausgangsgrößen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ voraus.

Bei der rückwärtigen Betrachtung mit eben jenem $\begin{eqnarray*} Z=X+Y \end{eqnarray*}$ bzw. daraus folgend $\begin{eqnarray*} X=Z+(-Y) \end{eqnarray*}$ ist aber die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} Z,Y \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt - das ist dein Denkfehler.

12.12.2020, 17:57

MIT

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Danke

Nochmal zu dem Beispiel mit dem Laser
Man hat

$\begin{eqnarray*} N_{Hintergrund}(1,11;1,25) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{Gesamt}(1,91;1,89) \end{eqnarray*}$

Normalverteilung müsste doch gehen,obwohl der Definitionsbereich der Zufallsvariablen die natürlichen Zahlen sind

Wie bekomme ich jetzt die Varianz für $\begin{eqnarray*} N_{Laser}(0,8;?) \end{eqnarray*}$ ?

Naheliegend ist doch $\begin{eqnarray*} N_{Laser}(0,8;1,89-1,25)= N_{Laser}(0,8;0,64) \end{eqnarray*}$

Weil N_{Gesamt}(1,11+0,8;1,25+0.64)=N_{Gesamt}(1,91;1,89)
Laser und Hintergrund sind unabhängig

12.12.2020, 23:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von MIT
obwohl der Definitionsbereich der Zufallsvariablen die natürlichen Zahlen sind

Das ist in zweifacher Hinsicht Unsinn: Definitionsbereich von Zufallsvariablen ist $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ vom Grundraum, diese Menge hat überhaupt keine vorgegebene Struktur, sie muss allerdings schon prinzipbedingt überabzählbar sein.

Was du meinst ist wohl eher der Wertebereich dieser Zufallsgrößen, aber auch der kann bei normalverteilten Zahlen nicht die natürlichen Zahlen sein. Was du vielleicht meinst ist, dass diese normalverteilten Größen (aufgrund eingeschränkter Messbedingen?) nur in gerundeter Form beobachtet (!) werden können, und diese Beobachtungen eben nur natürliche Zahlen sind - so kann evtl. ein Schuh draus werden.

-------------------------------------------------------------

Wenn du die Information hast $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}\left(1.11,1.25\right) \end{eqnarray*}$ (Hintergrund) sowie $\begin{eqnarray*} Y\sim \mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ (Laser mit zunächst unbekannten $\begin{eqnarray*} \mu,\sigma^2 \end{eqnarray*}$ ) die als unabhängig vorausgesetzt sind und deren Summe $\begin{eqnarray*} X+Y\sim \mathcal{N}\left(1.91,1.89\right) \end{eqnarray*}$ ist, dann kann man natürlich entsprechend der obigen Regel rechnen

$\begin{eqnarray*} 1.11 + \mu = 1.91 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1.25 + \sigma^2 = 1.89 \end{eqnarray*}$

und kommt somit selbstverständlich auf $\begin{eqnarray*} Y\sim \mathcal{N}\left(0.8,0.64\right) \end{eqnarray*}$ . Dazu muss man aber nicht den falschen Weg aus deinem Eröffnungbeitrag einschlagen.

13.12.2020, 11:53

MIT

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Bei X und Y handelt es sich ja um diskrete Zufallsvariablen. Und da war mir nicht ganz klar,ob man
da so einfach die Dichtefunktion der Normalverteilung anwenden kann

Da ist aber immer noch was unklar. Ich bitte um Nachsicht wenn das wieder Unsinn ist
Es gilt nach wie vor dass X und Y stochastisch unabhängig sind und Z=X+Y

$\begin{eqnarray*} Var(Z)=Var(X)+Var(Y) \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} Var(Y)=Var(Z)-Var(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Var(Z-X)=Var(Y)=Var(Z)+Var(X)-2CoV(Z,X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} CoV(Z,X)=CoV(X+Y,X) \end{eqnarray*}$

Dieses $\begin{eqnarray*} CoV(X+Y,X) \end{eqnarray*}$ müsste hier $\begin{eqnarray*} Var(X) \end{eqnarray*}$ sein

$\begin{eqnarray*} Var(Y)=Var(Z)+Var(X)-2Var(X) \end{eqnarray*}$

um auf die Gleichung oben zu kommen

$\begin{eqnarray*} Var(Y)=Var(Z)-Var(X) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist also ob das $\begin{eqnarray*} CoV(X+Y,X) = Var(X) \end{eqnarray*}$ bei Unabhängigkeit von X und Y sein kann?

Normalerweise hat man nur $\begin{eqnarray*} CoV(X,X) = Var(X) \end{eqnarray*}$

14.12.2020, 08:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von MIT
Die Frage ist also ob das $\begin{eqnarray*} CoV(X+Y,X) = Var(X) \end{eqnarray*}$ bei Unabhängigkeit von X und Y sein kann?

Ja klar, die Rechnung ergibt das doch sofort: Die Kovarianz ist bilinear (d.h., linear in jeder ihrer beiden Argumente), somit gilt

Cov(X+Y,X) = Cov(X,X) + Cov(Y,X) = Var(X) + 0 = Var(X) .

Und hör bitte auf von diesen diskret normalverteilten Größen zu sprechen, das ist unseriös: Ich habe oben doch die Brücke gebaut, wie das evtl funktionieren kann (Trennung von eigentlichen Größen und deren Beobachtung).

14.12.2020, 12:19

MIT

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Vielen Dank smile

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