Wahrscheinlichkeit für mehrere Unabhängige Ereignisse

12.12.2020, 18:26

Deltaregel

Wahrscheinlichkeit für mehrere Unabhängige Ereignisse

Hallo,

warum gilt dieser Zusammenhang für unabhängige Ereignisse bzw. wie kommt man darauf:

$\begin{eqnarray*} P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n|B) = P(A_1|B)\cdot P(A_2|B)\cdot ... \cdot P(A_n|B) \end{eqnarray*}$ ,

wie kann man das zeigen? Geht dies über

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(A)P(B) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = P(A) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank!

12.12.2020, 22:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Deltaregel
$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(A)P(B) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = P(A) \end{eqnarray*}$

Ja, wobei man im Falle der Unabhängigkeit von mehr als zwei Größen entsprechend auch jede Auswahl dieser Größen die Produktbedingung erfüllen muss, also beispielsweise auch

$\begin{eqnarray*} P(A_1\cap \ldots\cap A_n\cap B) = P(A_1)\cdot \ldots \cdot P(A_n)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$ .

13.12.2020, 11:15

Deltaregel

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HAL 9000,

Danke für deine Antwort, ich würde das folgendermaßen beweisen (bitte verbessere mich) smile

$\begin{eqnarray*} P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n|B) = P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n) \end{eqnarray*}$ gilt da $\begin{eqnarray*} P(A|B) = P(A) \end{eqnarray*}$ .
Weiter gilt $\begin{eqnarray*} P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n) = P(A_1)P(A_2)\cdot ... \cdot P(A_n) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(A)P(B) \end{eqnarray*}$ für unabhängige Ereignisse gilt (nur, dass das $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die weiteren $\begin{eqnarray*} A_2 \cap ... \cap A_n \end{eqnarray*}$ darstellt).
Mit [/latex]P(A|B) = P(A)[/latex] gilt dann aber auch folgendes: $\begin{eqnarray*} P(A_1)P(A_2)\cdot ... \cdot P(A_n) = P(A_1|B)P(A_2|B)\cdot ... \cdot P(A_n|B) \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n|B) = P(A_1|B)P(A_2|B)\cdot ... \cdot P(A_n|B) \end{eqnarray*}$

Ist damit korrekt gezeigt, dass für unabhängige Ereignisse der Zusammengang aus Punkt 4 gilt? Wie sonst kommt man auf diese Formel?

Zweitens, wie nennt man dieses Konstrukt $\begin{eqnarray*} P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n|B) \end{eqnarray*}$ überhaupt, gibt es dafür einen Fachausdruck/Fachterminus (außer bedingte Wkeit)?

Vielen Dank!

14.12.2020, 07:42

HAL 9000

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Im Prinzip liegst du schon richtig. Da hier aber sonst nichts zu tun ist, solltest du das wenige wie

$\begin{eqnarray*} P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n|B) = P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n) \end{eqnarray*}$

auch ordentlich aus der puren Definition der Unabhängigkeit (d.h. Formel für Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten) herleiten:

Denn dass mit $\begin{eqnarray*} A_1,\ldots,A_n,B \end{eqnarray*}$ dann auch die zwei Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_1\cap\ldots\cap A_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, ist genau genommen schon eine beweiswürdige Folgerung, d.h. nicht Bestandteil der ursprünglichen Unabhängigkeitsdefinition.

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