Trigonometrische Gleichung Lösungen bestimmen

13.12.2020, 18:57

Mathman91

Trigonometrische Gleichung Lösungen bestimmen

Hallo zusammen,

ich habe ein paar Fragen zu trigonometrischen Gleichungen.

Frage 1:

$\begin{eqnarray*} \sin(2x+5)=0,4 \end{eqnarray*}$

Für die erste Lösung brauche ich jetzt nur arcsin anwenden und nach x umstellen:

Dann kommt raus: $\begin{eqnarray*} x_{1}= -2,294+k*\pi \end{eqnarray*}$

Für die zweite Lösung x2 muss ich beim sinus immer mit: $\begin{eqnarray*} sin(\pi -t) \end{eqnarray*}$

Das wäre dann: $\begin{eqnarray*} sin(\pi -(2x-5))=0,4 \end{eqnarray*}$
Wichtig ist hier, das sich durch das Minus vor der Klammer die Vorzeichen umdrehen.
Also rechne ich nach anwenden der arcsin mit: $\begin{eqnarray*} \pi -2x-5 \end{eqnarray*}$ .

Frage 2:

Beim cosinus muss ich für die zweite Lösung x2 mit: $\begin{eqnarray*} cos(-t) \end{eqnarray*}$ rechnen.
$\begin{eqnarray*} -t \end{eqnarray*}$ bedeutet auch hier, das sich die Vorzeichen umdrehen.

Bei: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\cos(x-1)} \end{eqnarray*}$ muss ich dann für die zweite Lösung mit: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\cos(-(x-1))} \end{eqnarray*}$ , also: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\cos(-x+1)} \end{eqnarray*}$ rechnen?

Frage 3:

Bei den Lösungen schreibe ich dann immer: $\begin{eqnarray*} +k*\pi \end{eqnarray*}$ am ende.
Auch wenn ich beim umstellen $\begin{eqnarray*} -k*\pi \end{eqnarray*}$ herausbekommen sollte, dann mache ich aus dem Minus einfach ein Plus und schreibe dann wieder: $\begin{eqnarray*} +k*\pi \end{eqnarray*}$ ?

Habe ich das so richtig verstanden?

Schöne Grüße

13.12.2020, 20:13

klauss

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RE: Trigonometrische Gleichung Lösungen bestimmen
Hier aus Zeitgründen nur zu Frage 1:

Sieht so aus, als hättest Du im Prinzip die richtige Idee, möchstest aber gern ein einfaches Rezept, um Rechenaufwand zu sparen. Mag es geben, mir persönlich wäre es zu unsicher.
Zum Verständnis besser finde ich es, sich die Aufgabe am Einheitskreis vorzustellen.
Die Projektion auf die positive y-Achse (= Sinus) bei 0,4 wird hier von 2 Winkeln bewerkstelligt:
$\begin{eqnarray*} (2x+5)+k\cdot 2\pi \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} [\pi-(2x+5)]+k\cdot 2\pi \end{eqnarray*}$

Die beiden Gleichungen
$\begin{eqnarray*} 2x+5+k\cdot 2\pi =\arcsin(0,4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pi-(2x+5)+k\cdot 2\pi =\arcsin(0,4) \end{eqnarray*}$
nach x aufgelöst, liefert dann

$\begin{eqnarray*} x_{1} =\frac{\arcsin(0,4)-5}{2}+k\cdot \pi \end{eqnarray*}$ (Deine 1. Lösung)
und
$\begin{eqnarray*} x_{2} =\frac{\pi-5-\arcsin(0,4)}{2}+k\cdot \pi \end{eqnarray*}$

Den vorderen Summanden kann man dann in den gewünschten Wertebereich schieben, da man ja von $\begin{eqnarray*} 0<2x+5<\pi/2 \end{eqnarray*}$ ausgegangen ist.

Beim Cosinus kann man mit der Projektion auf die x-Achse und dem entsprechenden Zusammenhang zwischen den 2 Startwinkeln genauso vorgehen.

04.01.2021, 15:58

Mathman91

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Gibt es da keinen einfacheren Weg?

04.01.2021, 17:07

mYthos

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Wenn du dir merkst, dass die Sin- und Cos-Funktion die Periodenlänge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ besitzen, hängst du hinter dem arcsin oder arccos einfach $\begin{eqnarray*} +2k\pi \end{eqnarray*}$ an.
Ob plus oder minus ist egal, denn k stammt aus der Menge der ganzen Zahlen, daher kann k auch negativ sein.
Ansonsten bleibt dir die Umrechnung bei (2x + 5) = arcsin(0,4) nicht erspart, es ist aber eine lineare Umformung nach x. Was ist daran kompliziert?

2x + 5 = w + 2kpi (w ist der Winkel vom arc...)
2x = w - 5 + 2kpi
x = w/2 -2,5 + kpi
und fertig!

Nun zweitens zum Winkel w.
klauss hat dir den Tipp zu EK (Einheitskreis) gegeben, das ist sehr übersichtlich.

Du kannst dir wiederum merken, dass es - UNabhängig von der Periodenlänge - beim Sin bzw. Cos immer einen Hauptwert und einen Nebenwert des Winkels gibt, der denselben Funktionswert nach sich zieht.
sin(x) = sin(pi - x), Hauptwert: x, Nebenwert: pi - x und cos(x) = cos (-x), Hauptwert: x, Nebenwert: -x

An diese Werte hängst du jeweils den Summanden $\begin{eqnarray*} +2k\pi \end{eqnarray*}$ an und rechnest nach x um. Das ist es!

Zur Frage 3)
An die Lösungen am Ende $\begin{eqnarray*} +k \pi \end{eqnarray*}$ schreiben, ist falsch! Es gehört immer (!) $\begin{eqnarray*} +2k\pi \end{eqnarray*}$ hierhin!

Zur Frage 2)
Auch beim Cos drehen sich bei 2x - 5 keine (!) Vorzeichen um. NUR der Winkel, der durch den arccos errechnet wird, ändert sein Vorzeichen!

Dazu nun ein Beispiel zur Cos-Funktion in der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \cos(2x-5) = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$
a)
$\begin{eqnarray*} 2x-5 = \frac{\pi} 3 + 2k\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x = 5 + \frac{\pi} 3 + 2k \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 2,5 + \frac{\pi}6 (1 + 6k) \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} 2x-5 = -\frac{\pi} 3 + 2k\pi \end{eqnarray*}$ (2x - 5 bleibt, ohne Änderung), nur $\begin{eqnarray*} \frac{\pi} 3 \end{eqnarray*}$ wird negativ.

$\begin{eqnarray*} 2x = 5 -\frac{\pi} 3 + 2k \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 2,5 + \frac{\pi} 6(-1 + 6k) \end{eqnarray*}$

Bei einer weiteren Frage im Wurzel-Beispiel solltest du die ganze Gleichung angeben und dann mal bis zum Ende rechnen.

mY+

05.01.2021, 09:43

Ulrich Ruhnau

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RE: Trigonometrische Gleichung Lösungen bestimmen

Zitat:

Original von Mathman91
Frage 1:

$\begin{eqnarray*} \sin(2x+5)=0,4 \end{eqnarray*}$

Wo die rote und die grüne Linie sich kreuzen haben wir eine Lösung für x. Es gibt unendlich viele Lösungen, zwei pro Periode (Wellenzug).

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{\arcsin(0{,}4)-5}{2}+k\pi\approx -2{,}2942+k\pi\quad k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ für die aufsteigende Flanke

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{\pi-\arcsin(0{,}4)-5}{2}+k\pi\approx -1{,}1350+k\pi\quad k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ für die fallende Flanke

Die Lösung für die fallende Flanke beruht auf der Identität $\begin{eqnarray*} \sin(\varphi)=\sin(\pi-\varphi) \end{eqnarray*}$ .

Die Geschichte mit dem k kommt zustande durch $\begin{eqnarray*} \sin(\varphi)=\sin(\varphi+2k\pi)\quad k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

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