Produkt der Randverteilungen

15.12.2020, 08:36

DerFunktionator

Produkt der Randverteilungen

Meine Frage:
Hallo liebe Community, ich habe eine Frage bezüglich einer Aussage über einen Zufallsvektor, seine Verteilung und die Randverteilungen:
Sei (X,Y) Zufallsvektor auf einem W'raum, mit der Verteilung $\begin{eqnarray*} \mathbb P_{\left(X,Y\right)} \end{eqnarray*}$ und den Randverteilungen $\begin{eqnarray*} \mathbb P_X, \mathbb P_Y \end{eqnarray*}$ .
Aussage/Frage:
Wann gilt folgende Gleichung: $\begin{eqnarray*} \mathbb P_{\left(X,Y\right)}\left(\left[a_1,b_1\right]\times \left[a_2,b_2\right] \right) = \mathbb P_X\left(\left[a_1,b_1\right] \right)\cdot \mathbb P_Y\left(\left[a_2,b_2\right] \right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe den Ansatz, dass dies gilt, wenn (X,Y) ein stetiger Zufallsvektor ist, also eine Dichte und Randdichten besitzt.
Andernfalls sieht diese Gleichung etwas nach "Unabhängigkeit" aus, jedoch haben wir diese für Zufallsvektoren noch nicht definiert (Zufallsvariablen waren erst neu)
MFG

15.12.2020, 10:49

HAL 9000

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RE: Produkt der Randverteilungen
Mit Stetigkeit der Zufallsgrößen bzw. -vektoren hat diese Gleichung nichts zu tun. Es ist deine zweite Idee

Zitat:

Original von DerFunktionator
Andernfalls sieht diese Gleichung etwas nach "Unabhängigkeit" aus

mit der du auf der richtigen Spur bist.

Zitat:

Original von DerFunktionator
jedoch haben wir diese für Zufallsvektoren noch nicht definiert (Zufallsvariablen waren erst neu)

Vektoren hin oder her: Habt ihr die Definition für die Unabhängigkeit von zwei Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ kennengelernt oder nicht? Das ist doch das entscheidende hier - das "Zusammenpacken" zu Vektoren ist demgegenüber doch nur eine unwichtige Formalität.

15.12.2020, 11:09

DerFunktionator

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Nein leider nicht. Ich musste kurz nachschauen, aber Zufallsgröße und Zufallsvariable beschreiben ja das selbe Objekt. Wir haben die Zufallsvariable/Zufallsgröße eingeführt und bis zur Randdichte alles definiert etc. Jedoch ist die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen/Zufallsgrößen nicht dabei gewesen. Deswegen bin ich auch zuerst (fälschlicherweise) auf die Stetigkeit gegangen.
Bisher wurde nur die Unabhängigkeit von Ereignissen definiert.

15.12.2020, 11:37

HAL 9000

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Die Unabhängigkeit von Zufallsgrößen baut auf der Unabhängigkeit von Ereignissen auf, und zwar muss dazu

$\begin{eqnarray*} P(X\in A,Y\in B) = P(X\in A)\cdot P(Y\in B) \end{eqnarray*}$

für alle Borelmengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ gelten. Dafür ist allerdings hinreichend, wenn dies für die Mengen $\begin{eqnarray*} A=(-\infty,x] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=(-\infty,y] \end{eqnarray*}$ gilt, was man dann mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_{X,Y}(x,y) = P(X\leq x,Y\leq y) \end{eqnarray*}$ schreiben kann als Bedingung

$\begin{eqnarray*} F_{X,Y}(x,y) = F_X(x)\cdot F_Y(y) \end{eqnarray*}$ gültig für für alle reellen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ .

15.12.2020, 11:55

DerFunktionator

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Alles klar, das beantwortet die Frage. Vielen Dank! smile

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