Trefferwahrscheinlichkeit

15.12.2020, 09:56	Leo3	Auf diesen Beitrag antworten »
Trefferwahrscheinlichkeit Meine Frage: Guten Morgen bzw Guten Tag Ich habe eine Dartscheibe mit einem kleinen Trefferbereich innen. Das ist der Haupttreffer und hat 2cm Durchmesser. Meine Treffer weichen im Mittel 3cm vom Mittelpunkt der Scheibe ab. Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich einen Haupttreffer? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \Phi(\frac{1-3}{2} ) \end{eqnarray}$ Das ergibt dann eine Wahrscheinlichkeit von erwa 16% Jetzt ist es doch aber so,dass sich der Vorgang in einer Ebene abspielt. Und da stellt sich mir die Frage,ob man da etwas quadrieren muss? Danke für Hinweise
15.12.2020, 11:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trefferwahrscheinlichkeit Als erstes muss man ein geeignetes Modell für deine Treffergenauigkeit aufstellen: Ich nehme mal an, du hast da in deinem Wurf keine systematischen Mittenabweichung drin, d.h., wir nehmen eine zentrierte zweidimensionale Normalverteilung an mit zunächst unbekannten $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ sowohl in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ - als auch $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Richtung. Dann gilt für den Abstand $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ des Treffers vom Zentrum, dass die Größe $\begin{eqnarray} \frac{R^2}{\sigma^2} = \frac{X^2+Y^2}{\sigma^2} \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \chi^2 \end{eqnarray}$ -Verteilung mit zwei Freiheitsgraden aufweist, die entspricht einer Exponentialverteilung $\begin{eqnarray} \operatorname{Exp}\left(\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray}$ , mithin ist $\begin{eqnarray} F_R(r) = P\left(R\leq r\right) = P\left(\frac{R^2}{\sigma^2}\leq \frac{r^2}{\sigma^2}\right) = 1-\exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right) \end{eqnarray}$ Damit kann man den Erwartungswert bestimmen: $\begin{eqnarray} E(R) = \int\limits_0^{\infty} \left(1-F_R(r)\right) ~ \dd r = \int\limits_0^{\infty} \exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right) ~ \dd r = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\sigma \end{eqnarray}$ Gemäß deiner Angaben ist nun $\begin{eqnarray} E(R)=3 \end{eqnarray}$ (Maßeinheit cm lass ich weg), damit ist umgestellt $\begin{eqnarray} \sigma = 3\sqrt{\frac{2}{\pi}} \end{eqnarray}$ . Und damit wiederum kann man deine Haupttrefferwahrscheinlichkeit bestimmen; $\begin{eqnarray} P(R\leq 1) = F_R(1) = 1-\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\right) = 1-\exp\left(-\frac{\pi}{36}\right) \approx 0.0836 \end{eqnarray}$ . Man muss 1 nehmen, weil 2cm ja nicht der Radius sondern der Durchmesser des Haupttrefferbereichs ist. P.S.: Ehrlich - das soll Schulmathematik sein? Respekt.
15.12.2020, 12:10	Leo3	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch von mir Respekt Ich hatte mir die Aufgabe ausgedacht,aber jetzt behalte ich sie besser für mich

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