Unleserlich! Zufallsvektor

15.12.2020, 12:45	SLJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvektor Meine Frage: Der Zufallsvektor (X,Y) besitzt im Bereich A := {(x,y) ? R2 : 1 ? x ? y ? 2} eine Gleichverteilung. a) Bestimmen Sie die Dichte h(x, y) für diesen Zufallsvektor. b) Sind die beiden Zufallsvariablen X und Y unabhängig? Meine Ideen: Ich brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe. Es wäre super wenn mir jemand den Rechenweg erklären könnte
15.12.2020, 18:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, daß das $\begin{align} A = \left\{ \left. (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \right\| \, 1 \leq x \leq y \leq 2 \right\} \end{align}$ heißen soll. Der Bereich $\begin{align} A \end{align}$ ist ein Dreieck mit den Ecken $\begin{align} (1,1),(2,2),(1,2) \end{align}$ . Sein Flächeninhalt ist $\begin{align} \frac{1}{2} \end{align}$ . Ist nun $\begin{align} B \subseteq A \end{align}$ ein meßbarer Bereich, so ist bei Gleichverteilung die Wahrscheinlichkeit $\begin{align} P \left( (X,Y) \in B \right) \end{align}$ einfach das Verhältnis der Flächeninhalte von $\begin{align} B \end{align}$ und $\begin{align} A \end{align}$ , also $\begin{align} P \left( (X,Y) \in B \right) = 2 \int_B \dd(x,y) \end{align}$ Fertige dir dazu eine Skizze an. An der Gleichung kannst du gleich die Dichte ablesen. Am besten besorgst du dir erst die Verteilungsfunktionen $\begin{align} P(X \leq x) \end{align}$ für $\begin{align} 1 \leq x \leq 2 \end{align}$ und $\begin{align} P(Y \leq y) \end{align}$ für $\begin{align} 1 \leq y \leq 2 \end{align}$ . Markiere dir auf der $\begin{align} x \end{align}$ -Achse eine Stelle $\begin{align} x \end{align}$ irgendwo zwischen 1 und 2. Jetzt betrachte alle Punkte des Dreiecks $\begin{align} A \end{align}$ , für deren erste Koordinate $\begin{align} X \leq x \end{align}$ gilt. Diese Menge ist ein rechtwinkliges Trapez. Berechne seinen Flächeninhalt in Abhängigkeit von $\begin{align} x \end{align}$ . Das Ganze noch mal 2, und du hast $\begin{align} P(X \leq x) \end{align}$ . Entsprechend gehst du bei $\begin{align} P(Y \leq y) \end{align}$ vor. Dieses Mal ist die Fläche ein rechtwinkliges Dreieck. Für die Unabhängigkeit mußt du $\begin{align} P \left( X \leq x , Y \leq y \right) = P(X \leq x) \cdot P(Y \leq y) \end{align}$ nachweisen. Nimm mal den Spezialfall $\begin{align} x = \frac{3}{2} \end{align}$ und $\begin{align} y = \frac{3}{2} \end{align}$ und überprüfe, ob die Gleichung korrekt ist.

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