Abzählbarkeit/ Überabzählbarkeit Körper

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algebrafuchs Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbarkeit/ Überabzählbarkeit Körper
Meine Frage:
Hallo liebe Mathematiker-Freunde!
Ich habe ein Problem, beziehungsweise fehlen mir Ansätze, folgende Aufgabe zu beweisen.

Man hat den kleinstmöglichen Körper Ik = Zyklische Gruppe Z2 gegeben. Dazu gehört ein Raum Ik^N = Abb(N,Ik).
Nun stellt sich mir die Frage, wie man zeigt, dass Ik^N überabzählbar ist?


Meine Ideen:
Ich habe keinerlei Ideen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was hältst du davon? Jede Abbildung

kann mit einem Binärbruch identifiziert werden:



Die Körperelemente 0,1 werden dabei mit den ganzen Zahlen 0,1 identifiziert. Diese Binärbrüche aber füllen das ganze reelle Intervall aus.
algebrafuchs2 Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbarkeit/ Überabzählbarkeit Körper
Danke für deine Antwort.

Also meinst du das die reelen Zahlen ein überabzählbares Intervall sind, in dem die Binärbrüche liegen?

Was ist ein Binärbruch nach deiner Auffassung?

Gäbe es sonst noch eine andere Idee von dir?


LG und vielen Dank
algebrafuchs
fragenstellerlina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abzählbarkeit/ Überabzählbarkeit Körper
aber woraus könnte man dann bspw folgern, dass Ik^N keine abzählbare Basis besitzt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Binärbruch ist eine Kommazahl auf der Basis der Zahl 2, wie ein Dezimalbruch eine Kommazahl auf der Basis der Zahl 10 ist. Jede reelle Zahl im Intervall kann als Binärbruch dargestellt werden, zum Beispiel:







Eine Abbildung von auf ist aber nichts anderes als eine Folge von Nullen und Einsen, die als Binärbruch und damit als reelle Zahl des Intervalls verstanden werden kann.

Natürlich kannst du das 2. Cantorsche Diagonalverfahren auch noch einmal auf die Folge der Binärbrüche statt der Dezimalbrüche anwenden, um den bekannten Beweis der Überabzählbarkeit nachzustellen.
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