Unendlich-dimensionaler Vektorraum

15.12.2020, 15:06

vektorraumliebhaber

Unendlich-dimensionaler Vektorraum

Meine Frage:
Hallo!

Mir stellt sich eine Frage bzw. möchte ich wissen, ob ihr auf andere Ergebnisse kommt oder wie ihr das lösen würdet.

Wisst ihr ein Beispiel eines unendlich-dimensionalen Vektorraums V, der einen echten Unterraum U besitzt mit dimU = dim V?

Vielen Dank für euere Hilfe! Sending virtual hugs....

Meine Ideen:
Meine Antwort wäre: IR^Q (Vektorraum der reelen Zahlen über den rationalen Zahlen.

15.12.2020, 16:05

Leopold

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RE: Unendlich-dimensionaler Vektorraum

Zitat:

Original von vektorraumliebhaber
Meine Ideen:
Meine Antwort wäre: IR^Q (Vektorraum der reelen Zahlen über den rationalen Zahlen.

Das und das sind aber zwei völlig unterschiedliche Dinge.

Du kannst ja einfach einen reellen Vektorraum mit abzählbarer Basis $\begin{align*} b_0,b_1,b_2,\ldots \end{align*}$ nehmen:

$\begin{align*} V = \left \langle b_0, b_1, b_2, b_3, \ldots \right \rangle \end{align*}$

und dann den Unterraum

$\begin{align*} U = \left \langle b_1, b_2, b_3, \ldots \right \rangle \end{align*}$

betrachten. Wenn dir das noch nicht konkret genug ist, nimm für $\begin{align*} V \end{align*}$ den Vektorraum der Polynome in $\begin{align*} x \end{align*}$ über $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ und für $\begin{align*} U \end{align*}$ den Unterraum der Polynome mit Nullstelle 0. Das ist genau das Beispiel von oben mit $\begin{align*} b_n = x^n \end{align*}$ .

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