Bogenlänge einer Ellipse über Parametrisierung/ elliptisches Integral

15.12.2020, 22:17	Lost in Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge einer Ellipse über Parametrisierung/ elliptisches Integral Meine Frage: Hallo, ich möchte an einem konkreten Ellipsenbeispiel eine Bogenlänge zum Winkel alpha durch eine Parametrisierung und dem elliptischen Integral bestimmen, doch leider bekomme ich keine plausible Lösung. Und könnte mir bitte noch einmal jemand erläutern, warum genau die Lösung elliptischer Integrale nicht durch einfache Rechnungen möglich ist und welche Grenzen ich in das Integral einsetzen muss.. muss der obere Wert nicht die x-Koordinate von dem Brennpunkt der Ellipse sein? Gegeben: Halbachsen a=3cm, b=2cm Gesucht: Bogenlänge zu Winkel alpha= pi/2 Meine Ideen: die allgemeine Parametrisierung ist offensichtlich durch x=3cos(alpha) und y= 2sin(alpha) Durch die allgemeine Bogenlängenparametrisierung, bzw. Pythagoras und Substitution mit der Exzentrizität kam ich dann darauf, dass die Bogenlänge L $\begin{eqnarray} L = a\int_{c}^{d} \! \sqrt{1-\epsilon^2cos^2(\alpha) } \, d\alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L=\sqrt{6}~\int_{0}^{\frac{\pi} 2} \! \sqrt{1+\frac{\sin^2(x)}{2} } \, dx \end{eqnarray*}$ Bei mir kommt ungefähr raus: L=4,71 Aber das ist meiner Meinung nach zu groß. Was bekommt ihr raus? Wie würdet ihr rechnen? Edit (mY+): LaTeX berichtigt.
16.12.2020, 07:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Parameterdarstellung stimmt: $\begin{align} p: \, \alpha \mapsto (x,y) = \left( 3 \cos(\alpha) , 2 \sin(\alpha) \right) \, , \ \ 0 \leq \alpha \leq 2 \pi \end{align}$ Man muß allerdings beachten, daß $\begin{align} \alpha \end{align}$ nicht der Winkel zwischen dem Strahl vom Ursprung durch den Ellipsenpunkt $\begin{align} p(\alpha) \end{align}$ und der $\begin{align} x \end{align}$ -Achse ist. Nur an ein paar besonderen Stellen trifft das zu, zum Beispiel bei deinem $\begin{align} \alpha = \frac{\pi}{2} \end{align}$ . Im Bild ist der blaue Punkt $\begin{align} \color{blue} p \left( \frac{1}{4} \pi \right) \end{align}$ , der Winkel zur $\begin{align} x \end{align}$ -Achse beträgt aber nur etwa 33,7°. [attach]52286[/attach] Für die Länge einer Kurve, die in Parameterdarstellung $\begin{align} p(\alpha)= \left( x(\alpha), y(\alpha) \right) \end{align}$ gegeben ist, gibt es eine einfache Formel. Für $\begin{align} a<b \end{align}$ ist $\begin{align} L = \int_a^b \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} ~ \dd \alpha \end{align}$ die Länge des Kurvenstücks zwischen den Punkten $\begin{align} p(a) \end{align}$ und $\begin{align} p(b) \end{align}$ . Mit $\begin{align} \dot{x} \end{align}$ und $\begin{align} \dot{y} \end{align}$ werden die Ableitungen von $\begin{align} x \end{align}$ und $\begin{align} y \end{align}$ nach dem Parameter $\begin{align} \alpha \end{align}$ bezeichnet. In deinem Fall habe ich $\begin{align} L \approx 3{,}96636 \end{align}$ heraus.
16.12.2020, 08:54	Lost in Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke erstmal! aber kannst du mir nochmal kurz sagen, was genau du für Grenzen ins Integral eingesetzt hast?
16.12.2020, 10:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]52287[/attach]

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