Darstellende Matrix und Invertierbarkeit

16.12.2020, 14:46	Tipp-Ex-Master	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellende Matrix und Invertierbarkeit Meine Frage: Hallo liebe Community, ich habe mal eine Frage an euch, bzw. benötige ich etwas Hilfe ein paar Schritte bei der Beweisfindung zu gehen/finden: Die Aufgabe lautet: K ein Körper, $\begin{eqnarray} A\in GL_n(K) \end{eqnarray}$ invertierbare n x n-Matrix zz: $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ Basen B,C des K^n sd. $\begin{eqnarray} A = _C\left[id_{K^n}\right]_B \end{eqnarray}$ Formal bedeutet das für mich: Ich soll nachweisen, dass es Basen B,C des K^n gibt, sodass die invertierbare Matrix A gleich der darstellenden Matrix der Identitätsabbildung des K^n ist, bezüglich der Basen B,C. Meine Ideen: Ich habe nur gegeben, dass A invertierbar ist, also folgendes: - AB = BA = E_n - rang(A) = n - Die Abbildung von A, also $\begin{eqnarray} F_A:K^n \rightarrow K^n, v \mapsto A\cdot v \end{eqnarray}$ ist Vektorraumautomorphismus, also bijektiv. Nun fange ich an mir Basen $\begin{eqnarray} B = \left(b_1,...,b_n\right), C = \left(c_1,..,c_n\right) \end{eqnarray}$ des K^n zu wählen. Die Identitätsabbildung des K^n ist glaube ich folgende: $\begin{eqnarray} id_{K^n}:K^n \rightarrow K^n, v \mapsto v \end{eqnarray}$ und für die darstellende Matrix bzgl B,C gilt: $\begin{eqnarray} id_{K^n}\left(b_j\right) = \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}\cdot c_i \end{eqnarray}$ für j = 1,...,n Allerdings weiß ich nicht, wie ich das ganze zusammenfügen soll, geschweige denn die Invertierbarkeit von A nutze. Ich bin für jede Hilfe dankebar, MFG
16.12.2020, 22:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir scheint, dass du schon ganz nahe dran bist. Was passiert, wenn du für C die kanonische Basis nimmst? A ist die Darstellungsmatrix eines Isomorphismus, bildet also jede Basis auf eine Basis ab. Vielleicht musst du auch statt C die Basis B benutzen, und diese als kanonische Basis wählen. Links herum oder rechts herum, eine Richtung klappt bestimmt.
17.12.2020, 08:37	Tipp-Ex-Master	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke erstmal für die Antwort. Ich habe jetzt etwas über die Antwort nachgedacht und rumprobiert. Wenn ich B als kanonische Basis wähle, dann bekomme ich als Darstellungsmatrix der Identität, bzgl der Basen B,C, für id(b_j) = id(e_j) für j = 1,...,n eine Matrix mit willkürlichen Einträgen. Wähle ich hingegen C als kanonische Basis, so bekomme ich für id(b_j) eine Diagonalmatrix, also aufjedenfall eine Matrix mit rang = n. Bin ich immernoch auf dem richtigen Weg? Bringe ich so auch die Invertierbarkeit mit hinein, mithilfe des Rangs? Vielen Dank!
17.12.2020, 13:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann vielleicht so ? $\begin{eqnarray} rg(A)=n \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} SAT=\mathbb 1=M_E^E(id) \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} c_j:=S^{-1}(e_j), T(e_j)=:b_j \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} A=S^{-1}\mathbb 1T^{-1} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} A\begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 1 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}_B=Ab_j=c_j=\begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 1 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}_C \end{eqnarray}$
17.12.2020, 13:40	Tipp-Ex-Master	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich glaube mit der Antwort habe ich jetzt alles beisammen, habe selbst noch etwas rumprobiert. Der Weg bis zur Beweisidee ist meist nicht schwierig, die Beweisidee finden dann schon eher und da hakt es manchmal noch Vielen vielen Dank!
17.12.2020, 14:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob ich die Aufgabe jetzt wirklich richtig gelöst habe, weiß ich nicht, aber es ist zumindest nicht offensichtlich falsch, also kann es richtig sein. Wenn jemand Einwände hat, lasse ich mich gern eines besseren belehren.
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