Funktion doppelt ableiten

16.12.2020, 15:57	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion doppelt ableiten Hallo, darf ich euch bitten, das ihr mir sagt was ich bei der zweiten Ableitung falsch mache? Aufgabe: $\begin{eqnarray} y=x^{3}ln(x)-xarctan(x) \end{eqnarray}$ Erste Ableitung habe ich hinbekommen: $\begin{eqnarray} y'=3x^{2}ln(x)+x^{2}-arctan(x)-\frac{x}{1+x^{2}} \end{eqnarray}$ Bei der zweiten bekomme ich immer was anderes raus: Produktregel für: $\begin{eqnarray} 3x^{2}ln(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u=3x^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=6x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=ln(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v'=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 6xln(x)+3x \end{eqnarray}$ Quotientenregel für: $\begin{eqnarray} -\frac{x}{1+x^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u=-x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=1+x^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v'=2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{-x^{2}-1}{(1+x^{2})^{2}} \end{eqnarray}$ Die zweite Ableitung lautet nun: $\begin{eqnarray} y''=6xln(x)+5x-\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{x^{2}-1}{(1+x^{2})^2} \end{eqnarray}$
16.12.2020, 17:02	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion doppelt ableiten So wie ich es sehe, bist Du mit den Vorzeichen durcheinandergekommen, insbesondere weil Du unpraktischerweise bei der Quotientenregel das Minuszeichen in den Bruch gezogen hast. Besser: Nur $\begin{eqnarray} \frac{x}{1+x^{2} } \end{eqnarray}$ ableiten und dann ein Minus vor das Ergebnis. Ich komme in beiden Fällen letztlich auf $\begin{eqnarray} ...-\frac{1-x^{2}}{\left(1+x^{2} \right)^{2} } \end{eqnarray}$
16.12.2020, 17:07	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion doppelt ableiten Sieht fast alles vernünftig aus ! Du kannst es mit dem Ableitungsrechner selbst kontrollieren.
17.12.2020, 10:09	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Lösung lautet nun: $\begin{eqnarray} 6xln(x)+5x-\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^2} \end{eqnarray*}$ Sollte passen.
17.12.2020, 10:57	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier noch ein Beispiel: $\begin{eqnarray} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \end{eqnarray}$ Ich habe es mit einem online Ableitungsrechner überprüft. Bei der ersten Ableitung komme ich auf's gleich wie der online Rechner: $\begin{eqnarray} y'=\frac{2x}{(1+x^{2})^2} \end{eqnarray}$ Bei der zweiten Ableitung komme ich aber auf was anderes wie der Ableitungsrechner: $\begin{eqnarray} y''=\frac{-6x^{4}-4x^{2}+2}{(1+x^{2})^4} \end{eqnarray}$ Stimmt meine zweite Ableitung? Danke für die Hilfe!
17.12.2020, 11:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sie stimmt. Allerdings hast du unnötigerweise das $\begin{eqnarray} (1+x^2) \end{eqnarray}$ im Zähler ausmultipliziert. Angenehmer ist Darstellung $\begin{eqnarray} y'' = \frac{2-6x^2}{(1+x^2)^3} \end{eqnarray}$ .
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21.12.2020, 11:27	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke.

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