Goniometrische Gleichung 2

16.12.2020, 21:06

Matthi321

Goniometrische Gleichung 2

Meine Frage:
Aufgabe: 2(1-cos2x)=3 sin 2x, alle Gleichungen im Bereich [0, 360°) bzw. [0, 2120587) gelöst werden, Bitte um Hilfestellung

Meine Ideen:
Ich bitte um Hilfestellung

17.12.2020, 01:54

mYthos

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Es gilt: $\begin{eqnarray*} 1 - \cos 2x = 2 \sin^2x \text{ und }\sin 2x = 2 \sin x \cos x \end{eqnarray*}$
Ersetze die entsprechenden Terme in der Gleichung, bringe auf Null und klammere $\begin{eqnarray*} \sin x \end{eqnarray*}$ aus.
Rechne mit dem Satz vom Nullprodukt (nicht einfach durch $\begin{eqnarray*} \sin x \end{eqnarray*}$ kürzen!).

Hinweis:
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} a \sin x = b \cos x \end{eqnarray*}$ kann/soll mittels Division durch $\begin{eqnarray*} \cos x \neq 0 \end{eqnarray*}$ zu einer Tangensfunktion umgeformt werden.

mY+

17.12.2020, 08:02

early

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Wenn man cos(x) ungleich Null ausschließen muss, schließt man dann nicht mögliche Lösungen aus?
Sollte man nicht eher sin durch cos ausdrücken oder umgekehrt? verwirrt

17.12.2020, 08:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von early
Wenn man cos(x) ungleich Null ausschließen muss, schließt man dann nicht mögliche Lösungen aus?

Für dieses "Problem" gibt es ja eine einfache Lösung: Man betrachtet einfach den Fall $\begin{eqnarray*} \cos(x)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. man checkt, ob sich dort evtl. auch noch eine Lösung versteckt. Augenzwinkern

17.12.2020, 12:21

mYthos

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Zitat:

Original von early
...
Sollte man nicht eher sin durch cos ausdrücken oder umgekehrt? verwirrt

Damit handelt man sich unweigerlich Wurzeln ein, wodurch man veranlasst ist, zu quadrieren.
Dies wiederum zieht (falsche) Lösungen (Scheinlösungen) nach sich.
Aus diesem Grund trachtet man auch, sin(x)/cos(x) durch tan(x) zu ersetzen.

mY+

17.12.2020, 12:26

HAL 9000

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Ich denke, die Lösung von mYthos ist im vorliegenden Parameterfall die effizienteste. Mit anderen bzw. allgemeinen Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ würde man eine Gleichung dieses Typs $\begin{eqnarray*} a\cos(2x)+b\sin(2x)=c \end{eqnarray*}$ anders angehen, weil da die Faktorisierung wie hier im Spezialfall allgemein nicht funktioniert.

17.12.2020, 12:32

mYthos

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Zitat:

Original von HAL 9000
...
Mit anderen bzw. allgemeinen Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ würde man eine Gleichung dieses Typs $\begin{eqnarray*} a\cos(2x)+b\sin(2x)=c \end{eqnarray*}$ anders angehen, weil da die Faktorisierung wie hier im Spezialfall allgemein nicht funktioniert.

Jaja, da kommt dann wieder unsere altbekannte Polarform ins Spiel! Diese ist deshalb so gut, weil damit das Problem der Scheinlösungen elegant umgangen wird.

mY+

17.12.2020, 12:35

HAL 9000

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Den Vortrag wollte ich jetzt nicht halten, weil es hier im Spezialfall überumständlich ist. smile

17.12.2020, 13:11

mYthos

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Übrigens kann man "den Vortrag" deiner- und meinerseits mehrmals hier im Board nachlesen Big Laugh

mY+

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