Entscheiden, ob eine ZV eine solche WSK-Verteilung besitzen kann

16.12.2020, 23:01

3rdtimesacharm

Entscheiden, ob eine ZV eine solche WSK-Verteilung besitzen kann

Guten Abend,

ich habe zwei Fragen zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Ich habe hier eine Altklausur (leider ohne Lösung), und eine Aufgabe darin ist zu entscheiden, ob eine ZV Y eine Verteilung mit folgenden Eigenschaften besitzen kann:

1.)

P(X>1) = 0
E(X) = 1
$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ (X) > 0

Ich glaube, ich mache mir das zu einfach...
Im Skript habe ich einen Satz gefunden, durch den wir anhand der Linearität des Erwartungswertes Folgendes herausgefunden haben:
$\begin{eqnarray*} \sigma ^ 2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} E(X^2) - E(X)^2 \end{eqnarray*}$
Dementsprechen ist dann $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{ E(X^2) - E(X)^2} \end{eqnarray*}$
Und dann habe ich mir einfach E(X)=1 genommen und eingesetzt...
$\begin{eqnarray*} \sqrt{ 1 -1 } \end{eqnarray*}$ = 0
Und daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ (X) > 0 nicht eintrifft, also kann es keine solche Verteilung geben.

Aber ich hab ja eigentlich keine Werte für $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ , also dürfte $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ nicht stimmen, denn das kann ich nicht beurteilen, oder?

2.)

P(X>1) = 0
Median(X) = 1
$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ (X) > 0

Ich habe keine Ahnung, denn ich habe den Median in dieser Verbindung noch nie benutzt. verwirrt

Danke für eure Hilfe!

17.12.2020, 09:24

HAL 9000

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1) Deine Argumentation ist falsch, aus $\begin{eqnarray*} E(X)=1 \end{eqnarray*}$ folgt nicht $\begin{eqnarray*} E(X^2)=1 \end{eqnarray*}$ (Beispiel: $\begin{eqnarray*} P(X=0)=P(X=2)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ).

So könnte es gehen: Die Annahme $\begin{eqnarray*} P(X<1) = 0 \end{eqnarray*}$ führt sofort zu $\begin{eqnarray*} P(X=1)=1 \end{eqnarray*}$ und damit aber zu $\begin{eqnarray*} \sigma^2 = V(X) = 0 \end{eqnarray*}$ im Widerspruch zur Voraussetzung. Damit ist $\begin{eqnarray*} P(X<1) > 0 \end{eqnarray*}$ , der Maßstetigkeit wegen gibt es dann auch ein $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(X\leq a) > 0 \end{eqnarray*}$ , es folgt zusammen mit $\begin{eqnarray*} P(X>1)=0 \end{eqnarray*}$ schließlich

$\begin{eqnarray*} E(X) = E\left(X\cdot 1_{\{X\leq a\}}\right) + E\left(X\cdot 1_{\{a<X\leq 1\}}\right) \leq E\left(a\cdot 1_{\{X\leq a\}}\right) + E\left(1\cdot 1_{\{a<X\leq 1\}}\right) = a\cdot P(X\leq a) + 1\cdot P(X>a) = 1-(1-a)P(X\leq a) < 1 \end{eqnarray*}$

im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} E(X)=1 \end{eqnarray*}$ .

Zu 2) Kein Problem: $\begin{eqnarray*} P(X=0)=\frac{1}{3},P(X=1)=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} E(X)=E(X^2)=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} V(X)=\frac{2}{9}>0 \end{eqnarray*}$ .

17.12.2020, 12:32

3rdtimesacharm

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Hallo,

vielen Dank für deine Hilfe!

Ich verstehe nicht so ganz, warum man das P(X>1) = 0 umändern kann in P(X=1) und P(X<1).

Und zu Aufgabe 2 - wo ist der Median(X)? verwirrt

17.12.2020, 12:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von 3rdtimesacharm
warum man das P(X>1) = 0 umändern kann in P(X=1) und P(X<1).

"Umändern" ist das falsche Wort:

Klar folgt aus $\begin{eqnarray*} P(X>1) = 0 \end{eqnarray*}$ unmittelbar die Komplementwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X\leq 1) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Nun teilt sich das auf gemäß $\begin{eqnarray*} P(X\leq 1) = P(X<1)+P(X=1) \end{eqnarray*}$ , und damit ist das weitere oben dann hoffentlich klar.

Zitat:

Original von 3rdtimesacharm
Und zu Aufgabe 2 - wo ist der Median(X)? verwirrt

Bei der von mir angegebenen Beispielverteilung ist der Median 1. Du solltest dir einfach mal die Definition des Medians einer Verteilung anschauen, könnte nützlich sein.

17.12.2020, 16:53

3rdtimesacharm

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Vielen Dank!

ich muss mir das wirklich noch Schritt für Schritt hin schreiben, sonst fällt das alles vom Himmel für mich... Ups

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