Trigonometrischer Pythagoras

17.12.2020, 16:51	Hansi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrischer Pythagoras Meine Frage: $\begin{eqnarray} sin^{2}(\alpha)+cos^{2}(\beta)=1 \end{eqnarray}$ Für den Fall Alpha=Beta ist ja klar das die Gleichung gilt. Wie aber müssen sich Alpha und Beta zueinander verhalten, wenn die Gleichung auch für andere Werte gelten soll? Meine Ideen: ...
17.12.2020, 17:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
~~Das gilt nur für gleiche Winkel.~~ Na ja, wenn wir den Winkelbereich ansehen, gibt es schon Varianten. Diese resultieren aus der Gleichung: $\begin{eqnarray} \sin^2 \alpha = \sin^2 \beta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin \alpha = \pm \sin \beta<br /> \end{eqnarray}$ Einer der Fälle ist: $\begin{eqnarray} \beta = 180° - \alpha \end{eqnarray}$ ...... mY+
18.12.2020, 08:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, befassen wir uns mit der Frage: Für welche reellen $\begin{eqnarray} \alpha,\beta \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \sin^2(\alpha)+\cos^2(\beta) = 1 \end{eqnarray}$ ? (Von einem konkreten Winkelbereich ist oben ja keine Rede, auch wenn man der Symbole wegen Dreieckswinkel vermuten könnte.) Mit $\begin{eqnarray} \sin^2(\alpha)=\frac{1-\cos(2\alpha)}{2} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \cos^2(\beta)=\frac{1+\cos(2\beta)}{2} \end{eqnarray}$ eingesetzt ist das äquivalent zu $\begin{eqnarray} \cos(2\beta) = \cos(2\alpha) \end{eqnarray}$ , und damit (Periodizität und Symmetrie der Kosinusfunktion wegen) folgt $\begin{eqnarray} 2\beta = \pm 2\alpha + 2k\pi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , d.h. noch durch 2 dividiert $\begin{eqnarray} \beta = \pm \alpha + k\pi \end{eqnarray}$ . Für tatsächliche Dreiecksinnenwinkel bleibt davon aber wirklich nur $\begin{eqnarray} \beta = \alpha \end{eqnarray}$ übrig: Denn neben $\begin{eqnarray} 0<\alpha<\pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0<\beta<\pi \end{eqnarray}$ fordert man ja in einem nichtentarteten Dreieck zudem auch noch $\begin{eqnarray} \alpha+\beta < \pi \end{eqnarray}$ , was damit schon mal die (auch von mYthos oben schon genannte) Lösung $\begin{eqnarray} \beta = -\alpha+\pi \end{eqnarray}$ ausschließt.
18.12.2020, 10:00	Luftikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Lösung schaut so aus.. [attach]52294[/attach]
18.12.2020, 10:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Viele Wege führen nach Rom. Aus $\begin{align} \sin^2(\alpha) + \cos^2(\beta) = 1 \end{align}$ folgt mit dem trigonometrischen Pythagoras $\begin{align} \cos^2(\alpha) = \cos^2(\beta) \end{align}$ , also $\begin{align} \cos(\alpha) = \pm \cos(\beta) \end{align}$ Der Plusfall: $\begin{align} \cos(\alpha) = \cos(\beta) \ \ \Leftrightarrow \ \ \alpha \equiv \beta \bmod{2 \pi} \ \ \vee \ \ \alpha \equiv - \beta \bmod{2 \pi} \end{align}$ Der Minusfall: $\begin{align} \cos(\alpha) = -cos(\beta) \ \ \Leftrightarrow \ \ \cos(\alpha) = \cos(\beta + \pi) \ \ \Leftrightarrow \ \ \alpha \equiv \beta + \pi \bmod{2 \pi} \ \ \vee \ \ \alpha \equiv - \beta - \pi \bmod{2 \pi} \end{align}$ Der Plusfall und der Minusfall lassen sich zusammenführen: $\begin{align} \alpha \equiv \pm \beta \bmod{\pi} \end{align}$ @ Luftikus: hübsche Idee, das graphisch darzustellen
18.12.2020, 11:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left\|\cos(\alpha) \right\| = \left\|\cos(\beta)\right\| \end{eqnarray}$ war auch mein erster Gedanke. Der zweite war "warum Fallunterscheidung, wenn man sie umschiffen kann?".
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