Komplexe Nullstellen finden

18.12.2020, 12:13

Gengar

Komplexe Nullstellen finden

Meine Frage:
Hallo liebes Matheforum,

dieses Semester habe ich das Fach Algebra belegt, was mir leider sehr große Schwierigkeiten bereitet (aber wahrscheinlich auch weil es nicht so gut erklärt wird in der Vorlesung)

Ich habe hier drei Aufgaben, bei denen ich nicht mal weiß, wie man da überhaupt herangehen sollte.

1. Sei a aus K mit a ungleich 0 und f = (X^n)-a aus K[X]. Sei L/K ein Zerfällungskörper von f.
Zu zeigen: Aus das Polynom g = (X^n)-1 zerfällt in L in Linearfaktoren.

Sollte man das mit vollst. Induktion beweisen oder wie?

2. Sei p eine Primzahl. Geben Sie den Zerfällungskörper von (X^p)-1 an.

3. Gegeben sei das Polynom f = X^4+2X^3+7X^2+6X+9 aus Q[X]. Besistzt das Polynom mehrfache Nullstellen in C? Geben Sie alle Nullstellen in C an!

Das Polynom hat offenbar nur komplexe Nullstellen, und durch raten habe ich auch keine gefunden.

Ich weiß wirklich nicht welche Sätze man hierfür überhaupt benutzen kann. Ich wäre über jeden Tipp sehr dankbar.

Meine Ideen:
...

18.12.2020, 12:29

Leopold

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Bei der Rechenaufgabe unter 3. habe ich einmal ein wenig probiert. Ich habe $\begin{align*} z = w-a \end{align*}$ substituiert und bemerkt, daß man mit $\begin{align*} a = \frac{1}{2} \end{align*}$ das $\begin{align*} w^3 \end{align*}$ -Glied zum Verschwinden bringt und ein in $\begin{align*} w^2 \end{align*}$ quadratisches Polynom erhält. Das sollte zum Ziele führen.

EDIT
Ich habe automatisch $\begin{align*} X=z \end{align*}$ geschrieben, ohne das zu erwähnen.
Wenn man meinen Vorschlag oben zu Ende rechnet, kommt man darauf, daß das Polynom $\begin{align*} f \end{align*}$ ein Quadrat ist:

$\begin{align*} f(z) = \left( z^2 + az + b \right)^2 \end{align*}$ mit $\begin{align*} a,b \in \mathbb{Z} \end{align*}$

Mit diesem Ansatz kann man natürlich auch beginnen.

18.12.2020, 12:59

Gengar

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Mit a = 1 und b= 3. Wow, danke für den tollen Tipp! smile

18.12.2020, 13:09

Elvis

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Für 2. muss man die p-ten Einheitswurzeln kennen.
Für 1. braucht man die Definition des Zerfällungskörpers und die n-ten Einheitswurzeln.

Beispiel : $\begin{eqnarray*} x^7=3 \end{eqnarray*}$

18.12.2020, 13:15

Gengar

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Also 1. nicht mittels vollst. Induktion?

2. Der Zerfällungskörper ist dann ein Körper der Q enthält und die Nullstellen von X^p-1. ist das soweit richtig?

18.12.2020, 13:26

Leopold

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Man kann auch folgendermaßen auf den Ansatz in 3. kommen: Hat ein Polynom mit reellen Koeffizienten eine nicht-reelle komplexe Nullstelle $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ , dann ist auch ihr konjugiert Komplexes $\begin{align*} \bar{\alpha} \end{align*}$ Nullstelle. Jetzt legt die Aufgabe nahe, nach einer doppelten Nullstelle $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ zu suchen. Dann müßte aber auch $\begin{align*} \bar{\alpha} \end{align*}$ doppelte Nullstelle sein. $\begin{align*} f(z) \end{align*}$ besäße dann die Zerlegung:

$\begin{align*} f(z) = \left( z - \alpha \right)^2 \left( z - \bar{\alpha} \right)^2 = \left( \left( z - \alpha \right) \left( z - \bar{\alpha} \right) \right)^2 = \left( z^2 \underbrace{- \left( \alpha + \bar{\alpha} \right)}_{a} \, z + \underbrace{\alpha \bar{\alpha}}_{b} \right)^2 \end{align*}$

$\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ sind reelle Koeffizienten. Die Aufgabe legt daher nahe, diesen Ansatz zu versuchen.

18.12.2020, 13:30

Elvis

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1. Induktion macht da keinen Sinn.
2. Der Grundkörper ist K, nicht Q. Ich habe nur zur Illustration ein Beispiel mit komplexen Nullstellen gewählt. In der Aufgabe musst du allgemeiner vorgehen, aber vielleicht hilft es, wenn du dir die Verhältnisse an einem einfachen Beispiel klar machst.

18.12.2020, 13:35

Gengar

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So habe ich das gemacht. Danke! smile

18.12.2020, 13:39

Gengar

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Zitat:

Original von Elvis
1. Induktion macht da keinen Sinn.
2. Der Grundkörper ist K, nicht Q. Ich habe nur zur Illustration ein Beispiel mit komplexen Nullstellen gewählt. In der Aufgabe musst du allgemeiner vorgehen, aber vielleicht hilft es, wenn du dir die Verhältnisse an einem einfachen Beispiel klar machst.

Das habe ich in der Aufgabenstellung nicht erwähnt, aber X^p-1 ist aus F_p[X]. Aber spielt das überhaupt eine Rolle? Das Polynom hat ja als Koeffizienten nur die 1 und 0. Dann hat man als Grundkörper doch F_p oder?

18.12.2020, 13:50

Leopold

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$\begin{align*} (x-1)^p = x^p - 1^p = x^p - 1 \end{align*}$

Das sieht nach einem schrecklichen Anfängerfehler aus: Mißachtung des binomischen Lehrsatzes. Aber wird sind ja in $\begin{align*} \mathbb{F}_p \end{align*}$ mit einer Primzahl $\begin{align*} p \end{align*}$ .

18.12.2020, 14:09

Elvis

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In der Mathematik gibt es nichts, das eine größere Rolle spielt als die Voraussetzungen. Das lernt man spätestens in der Algebra. Deine Schwierigkeiten mit dem Fach werden sich beheben lassen, wenn du besser darauf achtest, wovon gesprochen wird. Jeder Körper ist anders, die Würde des Körpers ist unantastbar, so steht es im Grundgesetz.
2. und 3. hat Leopold beantwortet. 1. kannst du dann bestimmt auch lösen, wenn du die notwendigen Fallunterscheidungen machst, über welche Körper gesprochen wird (Charakteristik ?), und welche Werte n hat.

18.12.2020, 15:35

Gengar

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Dann ist bei 2. also der Zerfällungskörper F_p selbst?

18.12.2020, 16:31

Leopold

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So sieht's aus. Die Erkenntnis basiert natürlich auf der angegebenen Umformung. Die lernt man meist, wenn man sich mit Körpern der Charakteristik $\begin{align*} p \end{align*}$ beschäftigt. Du findest ihre Begründung sicher in jedem besseren Lehrbuch. Du kannst aber auch einmal selber darüber nachdenken.

Zunächst gilt der binomische Lehrsatz immer, in jedem Körper, also auch in $\begin{align*} \mathbb{F}_p \end{align*}$ , speziell für den Exponenten $\begin{align*} p \end{align*}$ :

$\begin{align*} (a+b)^p = \sum_{k=0}^p {p \choose k} a^k b^{p-k} ; \ \ a,b \in \mathbb{F}_p \end{align*}$

Man muß sich über $\begin{align*} {p \choose k} \end{align*}$ Gedanken machen. Das ist einerseits eine positive ganze Zahl, kann aber auch als Element von $\begin{align*} \mathbb{F}_p \end{align*}$ aufgefaßt werden. Man betrachtet dazu $\begin{align*} \mathbb{F}_p \end{align*}$ als $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ -Modul, indem man für $\begin{align*} n \in \mathbb{Z} \end{align*}$ und $\begin{align*} \bar{a} \in \mathbb{F}_p \end{align*}$ (wobei man hier, um Verwirrung zu vermeiden, die Elemente von $\begin{align*} \mathbb{F}_p \end{align*}$ in der Bezeichnung vorübergehend unterscheiden muß, für $\begin{align*} a \in \mathbb{Z} \end{align*}$ sei $\begin{align*} \bar{a} \in \mathbb{F}_p \end{align*}$ die von $\begin{align*} a \end{align*}$ erzeugte Restklasse) setzt:

$\begin{align*} n \cdot \bar{a} = \underbrace{\bar{a} + \ldots + \bar{a}}_{n \text{-mal}} \end{align*}$

(Ich habe das jetzt einmal für $\begin{align*} n>0 \end{align*}$ aufgeschrieben. Wie man das für $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ oder $\begin{align*} n<0 \end{align*}$ machen müßte, liegt auf der Hand.)

Hier gilt nun

$\begin{align*} n \cdot \bar{a} = \overline{n \cdot a} = \bar{n} \cdot \bar{a} \end{align*}$

Die erste Multiplikation ist die skalare Multiplikation des $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ -Moduls $\begin{align*} \mathbb{F}_p \end{align*}$ , die zweite Multiplikation die des Ringes $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ , und die dritte die Multiplikation in $\begin{align*} \mathbb{F}_p \end{align*}$ . Gerade diese Gleichheit erlaubt es einem, Elemente von $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ als Skalare des Moduls $\begin{align*} \mathbb{F}_p \end{align*}$ ebenso wie als Elemente des Körpers $\begin{align*} \mathbb{F}_p \end{align*}$ aufzufassen.

Und im binomischen Lehrsatz nimmt nun so ein $\begin{align*} {p \choose k} \end{align*}$ die Rolle eines $\begin{align*} n \end{align*}$ ein.

18.12.2020, 16:48

Gengar

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In Körpern der Charakteristik p gilt dann (x+y)^p = x^p+y^p für alle Elemente des Körpers. Warum kann man aber in das Polynom nur Elemente aus dem endlichen Körper F_p einsetzen? Das Polynom f hat Koeffizienten aus F_p. Aber X kann auch ein Element aus einem anderen Körper sein oder nicht?

18.12.2020, 16:51

Gengar

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Und könntest du mir noch einen Hinweis zu 1 geben? Die Eiheitswurzeln hatten wir in der Vorlseung nicht mal.

18.12.2020, 17:46

Leopold

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In $\begin{align*} L \end{align*}$ besteht die Linearfaktorzerlegung:

$\begin{align*} \text{(*)} \ \ x^n - a = \prod_{k=1}^n \left( x - b_k \right) \end{align*}$

Die $\begin{align*} b_k \in L \end{align*}$ sind die $\begin{align*} n \end{align*}$ -ten Wurzeln von $\begin{align*} a \end{align*}$ (aber das ist nur eine Name, für das Folgende ist es nicht wichtig).

Nun setzt man $\begin{align*} x = b_1 y \end{align*}$ in $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ ein (das geht natürlich auch mit jedem andern $\begin{align*} b_k \end{align*}$ ):

$\begin{align*} \left( b_1 y \right)^n - a = {b_1}^n y^n - a = a y^n - a = a \left( y^n - 1 \right) \end{align*}$

Und hierin erkennen wir das Polynom, um das es geht. Daß die Variable $\begin{align*} y \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} x \end{align*}$ heißt, sollte ja nicht das Problem sein.

Ich habe jetzt nur die linke Seite von $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ betrachtet. Setze auch in die rechte Seite ein und finde die gesuchte Linearfaktorzerlegung.

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