Eigenwert Matrix

18.12.2020, 22:44

Hodoo

Eigenwert Matrix

Hallo zusammen, es geht um folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie a und b so, dass
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} a \ b \\ 1 \ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
den Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = -1 hat und det(A) = 1 gilt. Weisen Sie nach, dass A für dieses a und b keinen anderen Eigenwert hat.

Ich bin an die Aufgabe mit dem Ansatz det(A- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *E) = 0 für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = -1 und det(A)=1 rangegangen. Die beiden daraus resultierenden Gleichungen habe ich aufgelöst und komme auf a=b=-2.

Wenn ich jetzt allerdings von der entstandenen Matrix den Eigenwert als Probe berechne erhalte ich 0 und -1, was ja nicht der Aufgabenstellung entspricht. Ich verstehe nicht, wo mein Fehler liegt?

18.12.2020, 22:53

Leopold

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RE: Eigenwert Matrix

Zitat:

Original von Hodoo
Ich verstehe nicht, wo mein Fehler liegt?

Dabei kann das niemand außer dir wissen, wo du deine Rechnung ja wie ein Staatsgeheimnis hütest. Ich komme mit dem nämlichen Ansatz auf $\begin{align*} a = -3 \end{align*}$ und $\begin{align*} b = -4 \end{align*}$ .

18.12.2020, 23:44

klauss

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RE: Eigenwert Matrix
Versuch mit anderem Ansatz:

Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte.
Die Spur ist die Summe der Eigenwerte.

$\begin{eqnarray*} \det(A)=a-b=1=E_{1}\cdot E_{2} =-1 \cdot E_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} tr(A)=a+1=E_{1}+ E_{2} =-1 + E_{2} \end{eqnarray*}$

Hiermit lassen sich leicht die Ergebnisse von Leopold bestätigen und dazu $\begin{eqnarray*} E_{2}=E_{1} \end{eqnarray*}$ für die Zusatzfrage, wenn das denn genügt.

19.12.2020, 10:52

Hodoo

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RE: Eigenwert Matrix
Ich hab meinen Fehler gefunden, war einfach ein ziemlich dummer Umformungsfehler. Jetzt komme ich mit meinem Ansatz auf b = -4 und a = 1 + b, also a = -3.

Trotzdem danke für die Tipps.

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